問題1は、2次方程式 $6x^2 - 2x + 3 = 0$ の2つの解を$\alpha, \beta$とするとき、以下の値を求める問題です。 (1) $\alpha + \beta$ (2) $\alpha \beta$ (3) $\alpha^2 + \beta^2$ (4) $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$ 問題2は、以下の2次方程式を解の公式を使って因数分解する問題です。 (1) $3x^2 + 2x + 5$ (2) $x^2 + 10x - 3$

## 解答

1. 問題の内容

問題1は、2次方程式 $6x^2 - 2x + 3 = 0$ の2つの解を$\alpha, \beta$とするとき、以下の値を求める問題です。

(1) $\alpha + \beta$

(2) $\alpha \beta$

(3) $\alpha^2 + \beta^2$

(4) $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$

問題2は、以下の2次方程式を解の公式を使って因数分解する問題です。

(1) $3x^2 + 2x + 5$

(2) $x^2 + 10x - 3$

2. 解き方の手順

問題1

(1) 解と係数の関係より、2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の2つの解の和は $-\frac{b}{a}$、積は$\frac{c}{a}$です。

よって、$\alpha + \beta = -\frac{-2}{6} = \frac{1}{3}$

(2) 解と係数の関係より、$\alpha \beta = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

(3) $(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2$ より、$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$です。

$\alpha + \beta = \frac{1}{3}$、$\alpha \beta = \frac{1}{2}$を代入すると、

$\alpha^2 + \beta^2 = (\frac{1}{3})^2 - 2(\frac{1}{2}) = \frac{1}{9} - 1 = \frac{1}{9} - \frac{9}{9} = -\frac{8}{9}$

(4) $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\beta + \alpha}{\alpha \beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta}$です。

$\alpha + \beta = \frac{1}{3}$、$\alpha \beta = \frac{1}{2}$を代入すると、

$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{3} \times 2 = \frac{2}{3}$

問題2

(1) 2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解の公式は $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$です。

$3x^2 + 2x + 5 = 0$ に解の公式を適用すると、

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(3)(5)}}{2(3)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 60}}{6} = \frac{-2 \pm \sqrt{-56}}{6} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{14}i}{6} = \frac{-1 \pm \sqrt{14}i}{3}$

よって、$3x^2 + 2x + 5 = 3(x - \frac{-1 + \sqrt{14}i}{3})(x - \frac{-1 - \sqrt{14}i}{3}) = 3(x + \frac{1 - \sqrt{14}i}{3})(x + \frac{1 + \sqrt{14}i}{3})$

(2) $x^2 + 10x - 3 = 0$ に解の公式を適用すると、

$x = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4(1)(-3)}}{2(1)} = \frac{-10 \pm \sqrt{100 + 12}}{2} = \frac{-10 \pm \sqrt{112}}{2} = \frac{-10 \pm 4\sqrt{7}}{2} = -5 \pm 2\sqrt{7}$

よって、$x^2 + 10x - 3 = (x - (-5 + 2\sqrt{7}))(x - (-5 - 2\sqrt{7})) = (x + 5 - 2\sqrt{7})(x + 5 + 2\sqrt{7})$

3. 最終的な答え

問題1

(1) $\frac{1}{3}$

(2) $\frac{1}{2}$

(3) $-\frac{8}{9}$

(4) $\frac{2}{3}$

問題2

(1) $x = \frac{-1 \pm \sqrt{14}i}{3}$　より、$3(x + \frac{1 - \sqrt{14}i}{3})(x + \frac{1 + \sqrt{14}i}{3})$

(2) $x = -5 \pm 2\sqrt{7}$　より、$(x + 5 - 2\sqrt{7})(x + 5 + 2\sqrt{7})$