行列 $A = \begin{bmatrix} x-1 & 2 & 0 \\ 0 & x-2 & 3-x \\ 1 & 0 & x-3 \end{bmatrix}$ が逆行列を持つための $x$ の条件を求める。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{bmatrix} x-1 & 2 & 0 \\ 0 & x-2 & 3-x \\ 1 & 0 & x-3 \end{bmatrix}$ が逆行列を持つための $x$ の条件を求める。

2. 解き方の手順

行列 $A$ が逆行列を持つための条件は、その行列式が 0 でないことです。つまり、$det(A) \ne 0$ となる $x$ の範囲を求めます。

まず、行列 $A$ の行列式を計算します。

第1列で展開すると、

$det(A) = (x-1) \begin{vmatrix} x-2 & 3-x \\ 0 & x-3 \end{vmatrix} - 0 \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & x-3 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ x-2 & 3-x \end{vmatrix}$

$det(A) = (x-1)(x-2)(x-3) + 2(3-x)$

$det(A) = (x-1)(x^2 - 5x + 6) + 6 - 2x$

$det(A) = x^3 - 5x^2 + 6x - x^2 + 5x - 6 + 6 - 2x$

$det(A) = x^3 - 6x^2 + 9x$

$det(A) = x(x^2 - 6x + 9)$

$det(A) = x(x-3)^2$

行列 $A$ が逆行列を持つためには、$det(A) \ne 0$ でなければなりません。

$x(x-3)^2 \ne 0$

$x \ne 0$ かつ $x \ne 3$

3. 最終的な答え

$x \ne 0$ かつ $x \ne 3$