与えられた方程式 $64 \cdot 27^x = \frac{1}{9}$ を解いて、$x$ の値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた方程式 $64 \cdot 27^x = \frac{1}{9}$ を解いて、$x$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を書き出します。

$64 \cdot 27^x = \frac{1}{9}$

64, 27, そして 9 をそれぞれ素因数分解します。

$64 = 2^6$

$27 = 3^3$

$9 = 3^2$

$\frac{1}{9} = 3^{-2}$

これらの値を元の式に代入します。

$2^6 \cdot (3^3)^x = 3^{-2}$

$2^6 \cdot 3^{3x} = 3^{-2}$

$2^6$ を右辺に移動します。

$3^{3x} = \frac{3^{-2}}{2^6}$

$3^{3x} = 3^{-2} \cdot 2^{-6}$

この形だと、$3^x$ の項と $2^6$ の項が混ざっているので、簡単には解けません。問題に誤りがある可能性があります。しかし、もし問題が $4 \cdot 27^x = \frac{1}{9}$ であれば、解くことができます。仮に、$64 \cdot 27^x = \frac{1}{9}$を解ける範囲で近似すると、対数を使用する必要が出てきます。

両辺に自然対数を取ると

$ln(2^6 \cdot 3^{3x}) = ln(3^{-2})$

$ln(2^6) + ln(3^{3x}) = ln(3^{-2})$

$6ln(2) + 3xln(3) = -2ln(3)$

$3xln(3) = -2ln(3) - 6ln(2)$

$x = \frac{-2ln(3) - 6ln(2)}{3ln(3)}$

$x = -\frac{2}{3} - 2\frac{ln(2)}{ln(3)}$

$x = -\frac{2}{3} - 2log_3(2)$

もし問題が $4 \cdot 27^x = \frac{1}{9}$ であった場合：

$4 = 2^2$

$2^2 \cdot (3^3)^x = 3^{-2}$

$2^2 \cdot 3^{3x} = 3^{-2}$

両辺を $2^2$ で割ると、

$3^{3x} = \frac{3^{-2}}{2^2}$

この場合も解くのは難しいです。

再度問題を確認すると、$64 \cdot (1/2) \cdot 27^x = 1/9$ だった場合、

$32 \cdot 27^x = 1/9$

$2^5 \cdot (3^3)^x = 3^{-2}$

$2^5 \cdot 3^{3x} = 3^{-2}$

この式をそのまま解くのは難しいです。

問題が $8 \cdot 27^x = \frac{1}{9}$である場合、

$2^3 \cdot 3^{3x} = 3^{-2}$

両辺を$2^3$で割ると

$3^{3x} = 3^{-2}2^{-3}$

$3x = log_3(3^{-2}2^{-3})$

今回の問題では、$x$ の値を綺麗に求めることは難しいです。

もし問題が $27^x = \frac{1}{64 \cdot 9}$ ならば、以下のように解くことができます。

$27^x = \frac{1}{2^6 \cdot 3^2}$

$3^{3x} = 2^{-6} \cdot 3^{-2}$

$3^{3x} = \frac{1}{2^6 3^2}$

これは、$x$ の値を求めるのは難しいです。

問題文が $64 \cdot 27^x = \frac{1}{9}$ で正しいと仮定した場合、指数関数と対数関数を使って無理やり計算します。

$2^6 \cdot (3^3)^x = 3^{-2}$

$2^6 \cdot 3^{3x} = 3^{-2}$

$3^{3x} = 3^{-2} \cdot 2^{-6}$

両辺の対数を取ると

$3x log3 = -2log3 - 6log2$

$x = \frac{-2log3 - 6log2}{3log3} = \frac{-2log3}{3log3} - \frac{6log2}{3log3} = -\frac{2}{3} - 2 \frac{log2}{log3} = -\frac{2}{3} - 2 log_32$

3. 最終的な答え

問題文が $64 \cdot 27^x = \frac{1}{9}$ で正しい場合、$x = -\frac{2}{3} - 2 log_32$ です。もし問題文が異なる場合は、正しい問題文を提示してください。