2次方程式を解の公式を使って因数分解する問題です。 (1) $3x^2 + 2x + 5$ を因数分解します。 (2) $x^2 + 10x - 3$ を因数分解します。

1. 問題の内容

2次方程式を解の公式を使って因数分解する問題です。

(1) $3x^2 + 2x + 5$ を因数分解します。

(2) $x^2 + 10x - 3$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$3x^2 + 2x + 5 = 0$ の解を求めます。解の公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ を使います。

この場合、$a = 3$, $b = 2$, $c = 5$ なので、

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 60}}{6}$

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{-56}}{6}$

$x = \frac{-2 \pm 2\sqrt{14}i}{6}$

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{14}i}{3}$

したがって、$3x^2 + 2x + 5 = 3(x - \frac{-1 + \sqrt{14}i}{3})(x - \frac{-1 - \sqrt{14}i}{3})$

$3x^2 + 2x + 5 = 3(x + \frac{1 - \sqrt{14}i}{3})(x + \frac{1 + \sqrt{14}i}{3})$

(2)

まず、$x^2 + 10x - 3 = 0$ の解を求めます。解の公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ を使います。

この場合、$a = 1$, $b = 10$, $c = -3$ なので、

$x = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{-10 \pm \sqrt{100 + 12}}{2}$

$x = \frac{-10 \pm \sqrt{112}}{2}$

$x = \frac{-10 \pm 4\sqrt{7}}{2}$

$x = -5 \pm 2\sqrt{7}$

したがって、$x^2 + 10x - 3 = (x - (-5 + 2\sqrt{7}))(x - (-5 - 2\sqrt{7}))$

$x^2 + 10x - 3 = (x + 5 - 2\sqrt{7})(x + 5 + 2\sqrt{7})$

3. 最終的な答え

(1)

解は $x = \frac{-1 \pm \sqrt{14}i}{3}$

与式は $3(x + \frac{1 - \sqrt{14}i}{3})(x + \frac{1 + \sqrt{14}i}{3})$

(2)

解は $x = -5 \pm 2\sqrt{7}$

与式は $(x + 5 - 2\sqrt{7})(x + 5 + 2\sqrt{7})$