与えられた条件を満たすように、定数 $a$ の値を求める問題です。 (1) 関数 $y=x^2+2x+a$ の最小値が $-3$ である。 (2) 関数 $y=x^2-4x+a$ ($1 \le x \le 5$) の最大値が $6$ である。 (3) 関数 $y=-x^2+3x+a$ ($-3 \le x \le 1$) の最大値が $4$ である。

1. 問題の内容

与えられた条件を満たすように、定数 $a$ の値を求める問題です。

(1) 関数 $y=x^2+2x+a$ の最小値が $-3$ である。

(2) 関数 $y=x^2-4x+a$ ($1 \le x \le 5$) の最大値が $6$ である。

(3) 関数 $y=-x^2+3x+a$ ($-3 \le x \le 1$) の最大値が $4$ である。

2. 解き方の手順

(1) 関数 $y=x^2+2x+a$ を平方完成すると、 $y=(x+1)^2-1+a$ となる。この関数の最小値は、 $x=-1$ のとき $y=-1+a$ となる。したがって、 $-1+a=-3$ より、$a=-2$ である。

(2) 関数 $y=x^2-4x+a$ を平方完成すると、 $y=(x-2)^2-4+a$ となる。この関数の軸は $x=2$ である。定義域 $1 \le x \le 5$ において、グラフは下に凸であるため、$x=5$ のときに最大値をとる。$x=5$ を代入すると、$y=5^2-4(5)+a=25-20+a=5+a$ となる。したがって、$5+a=6$ より、$a=1$ である。

(3) 関数 $y=-x^2+3x+a$ を平方完成すると、$y=-(x-\frac{3}{2})^2+\frac{9}{4}+a$ となる。この関数の軸は $x=\frac{3}{2}$ である。定義域 $-3 \le x \le 1$ において、グラフは上に凸であるため、軸 $x = \frac{3}{2}$ は定義域に含まれない。そのため、定義域内の $x=1$ に最も近い。グラフは上に凸なので、$x=1$ の時に最大値をとる。$x=1$ を代入すると、$y=-1^2+3(1)+a=-1+3+a=2+a$ となる。したがって、$2+a=4$ より、$a=2$ である。

3. 最終的な答え

(1) $a = -2$

(2) $a = 1$

(3) $a = 2$