2つの絶対値を含む方程式を解く問題です。 (1) $|x-2| = 3x$ (2) $|x-1| + |x-2| = x$

1. 問題の内容

2つの絶対値を含む方程式を解く問題です。

(1) $|x-2| = 3x$

(2) $|x-1| + |x-2| = x$

2. 解き方の手順

(1) $|x-2| = 3x$ の解き方：

絶対値の中身の符号で場合分けします。

$x-2 \ge 0$ つまり $x \ge 2$ のとき、 $|x-2| = x-2$ なので、方程式は $x-2 = 3x$ となります。

これを解くと $2x = -2$ より $x = -1$ となりますが、$x \ge 2$ という条件に反するため、この場合は解なしです。

$x-2 < 0$ つまり $x < 2$ のとき、 $|x-2| = -(x-2) = -x+2$ なので、方程式は $-x+2 = 3x$ となります。

これを解くと $4x = 2$ より $x = \frac{1}{2}$ となります。

これは $x < 2$ という条件を満たします。

また、方程式 $|x-2| = 3x$ が意味を持つためには、$3x \ge 0$ である必要があるので、$x \ge 0$ である必要があります。

$x = \frac{1}{2}$ は $x \ge 0$ の条件も満たします。

(2) $|x-1| + |x-2| = x$ の解き方：

絶対値の中身の符号で場合分けします。

i) $x \ge 2$ のとき、$x-1 \ge 0$ かつ $x-2 \ge 0$ なので、$|x-1| = x-1$ かつ $|x-2| = x-2$ となります。

方程式は $(x-1) + (x-2) = x$ となり、$2x - 3 = x$ より $x = 3$ となります。

これは $x \ge 2$ の条件を満たします。

ii) $1 \le x < 2$ のとき、$x-1 \ge 0$ かつ $x-2 < 0$ なので、$|x-1| = x-1$ かつ $|x-2| = -(x-2) = -x+2$ となります。

方程式は $(x-1) + (-x+2) = x$ となり、$1 = x$ となります。

これは $1 \le x < 2$ を満たさないので、解ではありません。

iii) $x < 1$ のとき、$x-1 < 0$ かつ $x-2 < 0$ なので、$|x-1| = -(x-1) = -x+1$ かつ $|x-2| = -(x-2) = -x+2$ となります。

方程式は $(-x+1) + (-x+2) = x$ となり、$-2x + 3 = x$ より $3x = 3$ となり $x = 1$ となります。

これは $x < 1$ という条件を満たしません。

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{1}{2}$

(2) $x = 3$