複素数 $z = \frac{1-\sqrt{3}i}{2}$ が与えられたとき、$z^3$, $z^{2018}$, $z^{2019}$, $z^{2020}$ の値を求める。

1. 問題の内容

複素数 $z = \frac{1-\sqrt{3}i}{2}$ が与えられたとき、$z^3$, $z^{2018}$, $z^{2019}$, $z^{2020}$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$z$ を極形式で表す。

$z = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$ であるから、$z$ の絶対値 $|z|$ は

$|z| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{1} = 1$

$z$ の偏角 $\theta$ は、$\cos \theta = \frac{1}{2}, \sin \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たすので、$\theta = -\frac{\pi}{3}$ となる。

したがって、$z = \cos(-\frac{\pi}{3}) + i\sin(-\frac{\pi}{3}) = e^{-i\frac{\pi}{3}}$

ド・モアブルの定理より、$z^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$ であるから、

$z^3 = \cos(-\pi) + i\sin(-\pi) = -1$

$z^{2018} = \cos(-\frac{2018\pi}{3}) + i\sin(-\frac{2018\pi}{3})$

$\frac{2018}{3} = 672 + \frac{2}{3}$ より、 $-\frac{2018\pi}{3} = -672\pi - \frac{2\pi}{3}$

よって、 $z^{2018} = \cos(-\frac{2\pi}{3}) + i\sin(-\frac{2\pi}{3}) = \cos(\frac{2\pi}{3}) - i\sin(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$

$z^{2019} = \cos(-\frac{2019\pi}{3}) + i\sin(-\frac{2019\pi}{3}) = \cos(-673\pi) + i\sin(-673\pi) = \cos(-\pi) + i\sin(-\pi) = -1$

$z^{2020} = \cos(-\frac{2020\pi}{3}) + i\sin(-\frac{2020\pi}{3})$

$\frac{2020}{3} = 673 + \frac{1}{3}$ より、 $-\frac{2020\pi}{3} = -673\pi - \frac{\pi}{3}$

よって、$z^{2020} = \cos(-\pi-\frac{\pi}{3}) + i\sin(-\pi-\frac{\pi}{3}) = \cos(-\frac{4\pi}{3}) + i\sin(-\frac{4\pi}{3}) = \cos(\frac{4\pi}{3}) - i\sin(\frac{4\pi}{3}) = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

$z^3 = -1$

$z^{2018} = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$

$z^{2019} = -1$

$z^{2020} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$