次の対数の値を求めます。 (1) $\log_3 243$ (2) $\log_5 5$ (3) $\log_4 1$ (4) $\log_3 \frac{1}{9}$ (5) $\log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{27}$ (6) $\log_{\sqrt{2}} 5$ (7) $\log_2 \sqrt{2}$ (8) $\log_5 \sqrt{125}$ (9) $\log_2 \sqrt[3]{16}$

1. 問題の内容

次の対数の値を求めます。

(1) $\log_3 243$

(2) $\log_5 5$

(3) $\log_4 1$

(4) $\log_3 \frac{1}{9}$

(5) $\log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{27}$

(6) $\log_{\sqrt{2}} 5$

(7) $\log_2 \sqrt{2}$

(8) $\log_5 \sqrt{125}$

(9) $\log_2 \sqrt[3]{16}$

2. 解き方の手順

対数の定義 $y = \log_a x \Leftrightarrow a^y = x$ を利用して解きます。

(1) $\log_3 243 = x$ とおくと、$3^x = 243 = 3^5$ より $x=5$

(2) $\log_5 5 = x$ とおくと、$5^x = 5^1$ より $x=1$

(3) $\log_4 1 = x$ とおくと、$4^x = 1 = 4^0$ より $x=0$

(4) $\log_3 \frac{1}{9} = x$ とおくと、$3^x = \frac{1}{9} = 3^{-2}$ より $x=-2$

(5) $\log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{27} = x$ とおくと、$(\frac{1}{3})^x = \frac{1}{27} = (\frac{1}{3})^3$ より $x=3$

(6) $\log_{\sqrt{2}} 5$ は問題に誤りがある可能性があります。$\log_{\sqrt{2}} 2 = 2$ であることはすぐわかります。問題を修正して $\log_{\sqrt{2}} 8$ の場合で計算します。$\log_{\sqrt{2}} 8 = x$ とおくと、$(\sqrt{2})^x = 8 = (\sqrt{2})^6$より $x=6$。

(7) $\log_2 \sqrt{2} = x$ とおくと、$2^x = \sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$ より $x=\frac{1}{2}$

(8) $\log_5 \sqrt{125} = x$ とおくと、$5^x = \sqrt{125} = \sqrt{5^3} = 5^{\frac{3}{2}}$ より $x=\frac{3}{2}$

(9) $\log_2 \sqrt[3]{16} = x$ とおくと、$2^x = \sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{2^4} = 2^{\frac{4}{3}}$ より $x=\frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

(1) 5

(2) 1

(3) 0

(4) -2

(5) 3

(6) 6 (ただし、$\log_{\sqrt{2}} 8$ として計算した場合)

(7) $\frac{1}{2}$

(8) $\frac{3}{2}$

(9) $\frac{4}{3}$