与えられた複素数方程式の解を求めます。 (1) $z^2 = i$ (2) $z^4 = -16$

1. 問題の内容

与えられた複素数方程式の解を求めます。

(1) $z^2 = i$

(2) $z^4 = -16$

2. 解き方の手順

(1) $z^2 = i$

複素数 $z$ を $z = a + bi$ （$a, b$ は実数）とおきます。

すると、$z^2 = (a + bi)^2 = a^2 + 2abi - b^2 = (a^2 - b^2) + 2abi$ となります。

$z^2 = i$ であることから、$a^2 - b^2 = 0$ かつ $2ab = 1$ が成り立ちます。

$a^2 - b^2 = 0$ より、$a^2 = b^2$ なので、$a = b$ または $a = -b$ です。

$2ab = 1$ より、$ab = \frac{1}{2}$ であるため、$a$ と $b$ は同符号である必要があります。したがって、$a = b$ が成り立ちます。

$2a^2 = 1$ より、$a^2 = \frac{1}{2}$ なので、$a = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$a = b$ なので、$a = b = \frac{\sqrt{2}}{2}$ または $a = b = -\frac{\sqrt{2}}{2}$。

しかし、$2ab=1$を満たすためには、$a=b=\frac{\sqrt{2}}{2}$でなければなりません。

よって、$a=b=\frac{\sqrt{2}}{2}$であり、$z = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i$が解の一つです。

もしくは、$i = \cos(\frac{\pi}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{2})$と表せます。

$z^2=i$の解は、$z = \cos(\frac{\pi}{4} + k\pi) + i\sin(\frac{\pi}{4} + k\pi)$ ($k=0,1$)で与えられます。

$k=0$のとき、$z = \cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i$。

$k=1$のとき、$z = \cos(\frac{5\pi}{4}) + i\sin(\frac{5\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i$。

(2) $z^4 = -16$

$-16 = 16(\cos(\pi) + i\sin(\pi))$ と表せます。

$z^4 = -16$の解は、$z = 2(\cos(\frac{\pi + 2k\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi + 2k\pi}{4}))$ ($k=0,1,2,3$)で与えられます。

$k=0$のとき、$z = 2(\cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4})) = 2(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i) = \sqrt{2} + \sqrt{2}i$。

$k=1$のとき、$z = 2(\cos(\frac{3\pi}{4}) + i\sin(\frac{3\pi}{4})) = 2(-\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i) = -\sqrt{2} + \sqrt{2}i$。

$k=2$のとき、$z = 2(\cos(\frac{5\pi}{4}) + i\sin(\frac{5\pi}{4})) = 2(-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i) = -\sqrt{2} - \sqrt{2}i$。

$k=3$のとき、$z = 2(\cos(\frac{7\pi}{4}) + i\sin(\frac{7\pi}{4})) = 2(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i) = \sqrt{2} - \sqrt{2}i$。

3. 最終的な答え

(1) $z = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i$, $z = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i$

(2) $z = \sqrt{2} + \sqrt{2}i$, $z = -\sqrt{2} + \sqrt{2}i$, $z = -\sqrt{2} - \sqrt{2}i$, $z = \sqrt{2} - \sqrt{2}i$