兄弟合わせて52本の鉛筆を持っている。兄が弟に自分の持っている鉛筆のちょうど $\frac{1}{3}$ をあげてもまだ兄の方が多い。さらに3本あげると弟の方が多い。兄が初めに持っていた鉛筆の本数を求める。

1. 問題の内容

兄弟合わせて52本の鉛筆を持っている。兄が弟に自分の持っている鉛筆のちょうど $\frac{1}{3}$ をあげてもまだ兄の方が多い。さらに3本あげると弟の方が多い。兄が初めに持っていた鉛筆の本数を求める。

2. 解き方の手順

兄が初めに持っていた鉛筆の本数を $x$ とし、弟が初めに持っていた鉛筆の本数を $y$ とします。

まず、全体の鉛筆の本数についての式を立てます。

$x + y = 52$

次に、兄が弟に$\frac{1}{3}$の鉛筆をあげたときの状況を考えます。

兄が弟にあげた鉛筆の本数は $\frac{1}{3}x$ です。

兄の鉛筆の本数は $x - \frac{1}{3}x = \frac{2}{3}x$ となります。

弟の鉛筆の本数は $y + \frac{1}{3}x$ となります。

このとき、まだ兄の方が多いので、

$\frac{2}{3}x > y + \frac{1}{3}x$

さらに、兄が弟に3本あげると弟の方が多いので、

$\frac{2}{3}x - 3 < y + \frac{1}{3}x + 3$

$x+y = 52$ より、$y=52-x$ なので、これを不等式に代入します。

$\frac{2}{3}x > 52-x + \frac{1}{3}x$

$\frac{2}{3}x - \frac{1}{3}x + x > 52$

$\frac{1}{3}x + x > 52$

$\frac{4}{3}x > 52$

$x > 52 \times \frac{3}{4}$

$x > 13 \times 3$

$x > 39$

$\frac{2}{3}x - 3 < 52 - x + \frac{1}{3}x + 3$

$\frac{2}{3}x + x - \frac{1}{3}x < 52 + 3 + 3$

$\frac{4}{3}x < 58$

$x < 58 \times \frac{3}{4}$

$x < \frac{174}{4}$

$x < \frac{87}{2}$

$x < 43.5$

$x$ は整数なので、$39 < x < 43.5$を満たす整数は、40, 41, 42, 43 です。

ここで$x$が3の倍数でないと$\frac{1}{3}x$が整数にならないので、兄の鉛筆の本数は整数でなくなる。

そのため$x$は3の倍数である必要がある。

40, 41, 42, 43の中で3の倍数は42のみである。

よって、x = 42

3. 最終的な答え

42本