何人かの子供たちにリンゴを配ります。1人あたり4個ずつ配ると19個余ります。1人あたり7個ずつ配ると、最後の子は4個より少ない個数を受け取ります。子供の人数とリンゴの総数を求めなさい。

1. 問題の内容

何人かの子供たちにリンゴを配ります。1人あたり4個ずつ配ると19個余ります。1人あたり7個ずつ配ると、最後の子は4個より少ない個数を受け取ります。子供の人数とリンゴの総数を求めなさい。

2. 解き方の手順

子供の人数を $x$ とします。

1人あたり4個ずつ配ると19個余るので、リンゴの総数は $4x + 19$ と表せます。

1人あたり7個ずつ配ると、最後の子は4個より少ない個数を受け取ります。

このことから、リンゴの総数は、少なくとも $7(x-1) + 1$ 個以上、多くとも $7(x-1) + 3$ 個以下であることが分かります。 (最後の子が1個の時と3個の時)

よって、以下の不等式が成り立ちます。

$7(x-1) + 1 \le 4x + 19 \le 7(x-1) + 3$

この不等式を解きます。

まず、$7(x-1) + 1 \le 4x + 19$ を解きます。

$7x - 7 + 1 \le 4x + 19$

$7x - 6 \le 4x + 19$

$3x \le 25$

$x \le \frac{25}{3} = 8.333...$

次に、$4x + 19 \le 7(x-1) + 3$ を解きます。

$4x + 19 \le 7x - 7 + 3$

$4x + 19 \le 7x - 4$

$23 \le 3x$

$x \ge \frac{23}{3} = 7.666...$

したがって、$7.666... \le x \le 8.333...$ となります。$x$ は整数なので、$x = 8$ となります。

子供の人数が8人のとき、リンゴの総数は $4x + 19 = 4 \times 8 + 19 = 32 + 19 = 51$ 個です。

このとき、1人7個ずつ配ると、$7 \times 7 = 49$ 個配ることができ、残りは $51 - 49 = 2$ 個です。最後の子は2個受け取り、これは4個より少ないので、条件を満たします。

3. 最終的な答え

子供の人数：8人

リンゴの総数：51個