問題は2つあります。 (1) 2次方程式 $3x^2 - 2x - 4 = 0$ の解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\alpha^2 + \beta^2$ と $\alpha^3 + \beta^3$ の値を求める問題です。 (2) 方程式 $|x| + |x-2| = x+2$ の解を求める問題です。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) 2次方程式 $3x^2 - 2x - 4 = 0$ の解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\alpha^2 + \beta^2$ と $\alpha^3 + \beta^3$ の値を求める問題です。

(2) 方程式 $|x| + |x-2| = x+2$ の解を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1)

まず、解と係数の関係から、$\alpha + \beta$ と $\alpha\beta$ を求めます。

$3x^2 - 2x - 4 = 0$ において、解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = \frac{-(-2)}{3} = \frac{2}{3}$

$\alpha\beta = \frac{-4}{3}$

次に、$\alpha^2 + \beta^2$ を求めます。

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = (\frac{2}{3})^2 - 2(\frac{-4}{3}) = \frac{4}{9} + \frac{8}{3} = \frac{4}{9} + \frac{24}{9} = \frac{28}{9}$

次に、$\alpha^3 + \beta^3$ を求めます。

$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)(\alpha^2 - \alpha\beta + \beta^2) = (\alpha + \beta)((\alpha + \beta)^2 - 3\alpha\beta)$

$= \frac{2}{3} ((\frac{2}{3})^2 - 3(\frac{-4}{3})) = \frac{2}{3} (\frac{4}{9} + 4) = \frac{2}{3} (\frac{4}{9} + \frac{36}{9}) = \frac{2}{3} (\frac{40}{9}) = \frac{80}{27}$

(2)

方程式 $|x| + |x-2| = x+2$ を解きます。

場合分けをします。

(i) $x < 0$ のとき

$-x - (x-2) = x+2$

$-x - x + 2 = x+2$

$-2x + 2 = x+2$

$-3x = 0$

$x=0$

これは$x < 0$を満たさないので不適です。

(ii) $0 \le x < 2$ のとき

$x - (x-2) = x+2$

$x - x + 2 = x+2$

$2 = x+2$

$x = 0$

これは$0 \le x < 2$を満たすので適します。

(iii) $x \ge 2$ のとき

$x + (x-2) = x+2$

$x + x - 2 = x+2$

$2x - 2 = x+2$

$x = 4$

これは$x \ge 2$を満たすので適します。

したがって、解は $x=0, 4$ です。

3. 最終的な答え

(1) $\alpha^2 + \beta^2 = \frac{28}{9}$、$\alpha^3 + \beta^3 = \frac{80}{27}$

(2) $x = 0, 4$