2次方程式 $x^2 + 2mx + 2m + 3 = 0$ が与えられている。 (1) この方程式が異なる2つの正の解を持つような定数 $m$ の値の範囲を求める。 (2) この方程式が異なる2つの負の解を持つような定数 $m$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 2mx + 2m + 3 = 0$ が与えられている。

(1) この方程式が異なる2つの正の解を持つような定数 $m$ の値の範囲を求める。

(2) この方程式が異なる2つの負の解を持つような定数 $m$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) 異なる2つの正の解を持つための条件：

* 判別式 $D > 0$

* 軸の位置 $x = -m > 0$

* $x=0$ のとき $f(0) = 2m + 3 > 0$

判別式 $D = (2m)^2 - 4(2m + 3) = 4m^2 - 8m - 12 > 0$

$m^2 - 2m - 3 > 0$

$(m - 3)(m + 1) > 0$

$m < -1$ または $m > 3$

軸の位置 $-m > 0$ より $m < 0$

$f(0) = 2m + 3 > 0$ より $m > -\frac{3}{2}$

したがって、$-\frac{3}{2} < m < -1$ となる。

(2) 異なる2つの負の解を持つための条件：

* 判別式 $D > 0$

* 軸の位置 $x = -m < 0$

* $x=0$ のとき $f(0) = 2m + 3 > 0$

判別式 $D > 0$ は (1) と同様に $m < -1$ または $m > 3$

軸の位置 $-m < 0$ より $m > 0$

$f(0) = 2m + 3 > 0$ より $m > -\frac{3}{2}$

したがって、$m > 3$ となる。

3. 最終的な答え

(1) 異なる2つの正の解を持つとき、$-\frac{3}{2} < m < -1$

(2) 異なる2つの負の解を持つとき、$m > 3$