曲線 $y = \frac{1}{x}$、直線 $x=1$、$x=e$、および $x$軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求める問題です。

## 問題33 (1)

1. 問題の内容

曲線 $y = \frac{1}{x}$、直線 $x=1$、$x=e$、および $x$軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

求める面積 $S$ は、定積分によって計算できます。$x$ の範囲は $1$ から $e$ であり、$y = \frac{1}{x}$ を積分します。

$S = \int_{1}^{e} \frac{1}{x} dx$

$\frac{1}{x}$ の積分は $\ln |x|$ です。したがって、

$S = [\ln |x|]_{1}^{e} = \ln e - \ln 1 = 1 - 0 = 1$

3. 最終的な答え

$S = 1$

## 問題33 (2)

1. 問題の内容

曲線 $y = \sqrt{x+1}$、直線 $x=0$、$x=3$、および $x$軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

求める面積 $S$ は、定積分によって計算できます。$x$ の範囲は $0$ から $3$ であり、$y = \sqrt{x+1}$ を積分します。

$S = \int_{0}^{3} \sqrt{x+1} dx$

置換積分を行います。$u = x+1$ とすると、$du = dx$ であり、$x=0$ のとき $u=1$、$x=3$ のとき $u=4$ となります。したがって、

$S = \int_{1}^{4} \sqrt{u} du = \int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} du$

$u^{\frac{1}{2}}$ の積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。したがって、

$S = [\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4} = \frac{2}{3} (4^{\frac{3}{2}} - 1^{\frac{3}{2}}) = \frac{2}{3} (8 - 1) = \frac{2}{3} \cdot 7 = \frac{14}{3}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{14}{3}$

## 問題34

1. 問題の内容

曲線 $y = e^x - e$ と $x$軸、直線 $x=0$、$x=2$ で囲まれた2つの部分の面積の和 $S$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y = e^x - e$ と $x$軸との交点を求めます。$e^x - e = 0$ を解くと、$e^x = e$ より $x=1$ となります。したがって、$x=1$ で $y=0$ となり、$x=0$ から $x=1$ の範囲では $e^x - e < 0$ であり、$x=1$ から $x=2$ の範囲では $e^x - e > 0$ であることがわかります。したがって、面積は2つの積分に分けて計算し、絶対値を考慮して和をとります。

$S = \int_{0}^{2} |e^x - e| dx = \int_{0}^{1} (e - e^x) dx + \int_{1}^{2} (e^x - e) dx$

それぞれの積分を計算します。

$\int_{0}^{1} (e - e^x) dx = [ex - e^x]_{0}^{1} = (e - e) - (0 - 1) = 1$

$\int_{1}^{2} (e^x - e) dx = [e^x - ex]_{1}^{2} = (e^2 - 2e) - (e - e) = e^2 - 2e - e = e^2 - 3e$

したがって、

$S = 1 + e^2 - 3e$

3. 最終的な答え

$S = e^2 - 3e + 1$