この問題は、以下の3つの小問から構成されています。 (1) $(x-a)^6$ を展開せよ。 (2) $(2x-y)^7$ の展開式における $x^4y^3$ の項の係数を求めよ。 (3) $(x+y-3z)^8$ の展開式における $x^3y^3z^2$ の項の係数を求めよ。

## 数学の問題の解答

1. 問題の内容

この問題は、以下の3つの小問から構成されています。

(1) $(x-a)^6$ を展開せよ。

(2) $(2x-y)^7$ の展開式における $x^4y^3$ の項の係数を求めよ。

(3) $(x+y-3z)^8$ の展開式における $x^3y^3z^2$ の項の係数を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 二項定理を用いて $(x-a)^6$ を展開します。二項定理は以下の通りです。

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k}b^k$

(2) 二項定理を用いて $(2x-y)^7$ の展開式における $x^4y^3$ の項を求めます。二項定理の一般項は $\binom{n}{k} a^{n-k}b^k$ で表されます。

(3) 多項定理を用いて $(x+y-3z)^8$ の展開式における $x^3y^3z^2$ の項を求めます。多項定理は以下の通りです。

$(x_1 + x_2 + ... + x_m)^n = \sum_{k_1+k_2+...+k_m=n} \binom{n}{k_1, k_2, ..., k_m} x_1^{k_1}x_2^{k_2}...x_m^{k_m}$

ここで、$\binom{n}{k_1, k_2, ..., k_m} = \frac{n!}{k_1!k_2!...k_m!}$ です。

(1)

$(x-a)^6 = \binom{6}{0}x^6(-a)^0 + \binom{6}{1}x^5(-a)^1 + \binom{6}{2}x^4(-a)^2 + \binom{6}{3}x^3(-a)^3 + \binom{6}{4}x^2(-a)^4 + \binom{6}{5}x^1(-a)^5 + \binom{6}{6}x^0(-a)^6$

$= x^6 - 6ax^5 + 15a^2x^4 - 20a^3x^3 + 15a^4x^2 - 6a^5x + a^6$

(2)

$(2x-y)^7$ の展開式における $x^4y^3$ の項を求めるために、二項定理を利用します。$x^4y^3$ の項は $\binom{7}{3}(2x)^4(-y)^3$ で表されます。

$\binom{7}{3}(2x)^4(-y)^3 = \frac{7!}{3!4!}(16x^4)(-y^3) = 35 \cdot 16 \cdot (-1) x^4y^3 = -560x^4y^3$

したがって、$x^4y^3$ の項の係数は -560 です。

(3)

$(x+y-3z)^8$ の展開式における $x^3y^3z^2$ の項を求めるために、多項定理を利用します。$x^3y^3z^2$ の項は、$\binom{8}{3,3,2}x^3y^3(-3z)^2$ で表されます。

$\binom{8}{3,3,2}x^3y^3(-3z)^2 = \frac{8!}{3!3!2!} x^3y^3(9z^2) = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1} \cdot 9 x^3y^3z^2 = 560 \cdot 9 x^3y^3z^2 = 5040x^3y^3z^2$

したがって、$x^3y^3z^2$ の項の係数は 5040 です。

3. 最終的な答え

(1) $(x-a)^6 = x^6 - 6ax^5 + 15a^2x^4 - 20a^3x^3 + 15a^4x^2 - 6a^5x + a^6$

(2) -560

(3) 5040