斜面A上に置かれた質量mの質点Bに関する問題です。斜面Aは水平面と角度$\theta$をなしています。摩擦は無視でき、重力は鉛直下方に作用し、その加速度は$g$です。 (a) 斜面Aが加速度$\alpha$で右側に運動しているとき、質点Bが感じる斜面上の加速度$\alpha'$と斜面からの抗力$N$を求めます。 (b) 斜面Aが加速度$\alpha$で左側に運動しているとき、質点Bが斜面から離れて運動する$\alpha$の条件を求めます。

1. 問題の内容

斜面A上に置かれた質量mの質点Bに関する問題です。斜面Aは水平面と角度$\theta$をなしています。摩擦は無視でき、重力は鉛直下方に作用し、その加速度は$g$です。

(a) 斜面Aが加速度$\alpha$で右側に運動しているとき、質点Bが感じる斜面上の加速度$\alpha'$と斜面からの抗力$N$を求めます。

(b) 斜面Aが加速度$\alpha$で左側に運動しているとき、質点Bが斜面から離れて運動する$\alpha$の条件を求めます。

2. 解き方の手順

(a) 斜面Aが右向きに加速度$\alpha$で運動している場合、質点Bから見た非慣性系において、慣性力が左向きに作用します。質点Bに働く力は、重力$mg$、抗力$N$、慣性力$m\alpha$です。

斜面に平行な方向の運動方程式は

$m\alpha' = m\alpha \cos\theta - mg\sin\theta$

よって

$\alpha' = \alpha \cos\theta - g\sin\theta$

斜面に垂直な方向の力の釣り合いは

$N - mg\cos\theta - m\alpha \sin\theta = 0$

よって

$N = mg\cos\theta + m\alpha \sin\theta$

(b) 斜面Aが左向きに加速度$\alpha$で運動している場合、質点Bから見た非慣性系において、慣性力が右向きに作用します。質点Bに働く力は、重力$mg$、抗力$N$、慣性力$m\alpha$です。質点Bが斜面から離れる条件は$N=0$となることです。

斜面に垂直な方向の力の釣り合いは

$N - mg\cos\theta + m\alpha \sin\theta = 0$

質点Bが斜面から離れるとき、$N=0$なので

$mg\cos\theta = m\alpha \sin\theta$

$\alpha = g\frac{\cos\theta}{\sin\theta}$

$\alpha = g\cot\theta$

よって、質点Bが斜面から離れる条件は、$\alpha > g\cot\theta$です。

3. 最終的な答え

(a) 質点Bが感じる斜面上の加速度 $\alpha' = \alpha \cos\theta - g\sin\theta$

斜面からの抗力 $N = mg\cos\theta + m\alpha \sin\theta$

(b) 質点Bが斜面から離れて運動する条件 $\alpha > g\cot\theta$