静電容量が $1 \mu \text{F}$ と $3 \mu \text{F}$ のコンデンサを直列に接続し、両端に $80 \text{V}$ の電圧を加えたときの、各コンデンサの端子電圧と合成静電容量を求める。

1. 問題の内容

静電容量が $1 \mu \text{F}$ と $3 \mu \text{F}$ のコンデンサを直列に接続し、両端に $80 \text{V}$ の電圧を加えたときの、各コンデンサの端子電圧と合成静電容量を求める。

2. 解き方の手順

コンデンサの直列接続における合成静電容量 $C$ は、各コンデンサの静電容量 $C_1, C_2, \dots, C_n$ を用いて、以下の式で表される。

$\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \dots + \frac{1}{C_n}$

この問題では、静電容量 $C_1 = 1 \mu \text{F}$ と $C_2 = 3 \mu \text{F}$ のコンデンサが直列に接続されているので、合成静電容量 $C$ は、

$\frac{1}{C} = \frac{1}{1} + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$

したがって、

$C = \frac{3}{4} \mu \text{F} = 0.75 \mu \text{F}$

直列接続されたコンデンサに蓄えられる電荷 $Q$ は等しく、コンデンサの電荷 $Q$, 静電容量 $C$, 電圧 $V$ の間には、以下の関係がある。

$Q = CV$

合成静電容量 $C$ に電圧 $V = 80 \text{V}$ が加えられるので、蓄えられる電荷 $Q$ は、

$Q = CV = 0.75 \times 10^{-6} \text{F} \times 80 \text{V} = 60 \times 10^{-6} \text{C} = 60 \mu \text{C}$

各コンデンサに蓄えられる電荷は等しく $Q = 60 \mu \text{C}$ である。各コンデンサの端子電圧 $V_1, V_2$ は、

$V_1 = \frac{Q}{C_1} = \frac{60 \times 10^{-6} \text{C}}{1 \times 10^{-6} \text{F}} = 60 \text{V}$

$V_2 = \frac{Q}{C_2} = \frac{60 \times 10^{-6} \text{C}}{3 \times 10^{-6} \text{F}} = 20 \text{V}$

3. 最終的な答え

合成静電容量：$0.75 \mu \text{F}$

$1 \mu \text{F}$ のコンデンサの端子電圧：$60 \text{V}$

$3 \mu \text{F}$ のコンデンサの端子電圧：$20 \text{V}$