記録タイマーで等加速度直線運動を測定した結果から、以下の3つの問いに答える。 (1) OA間の平均の速さを求める。 (2) 打点Oの時刻を0とし、横軸に時間$t$[s]、縦軸に速さ$v$[m/s]をとった$v$-$t$グラフを描く。 (3) 物体の加速度の大きさを求める。

1. 問題の内容

記録タイマーで等加速度直線運動を測定した結果から、以下の3つの問いに答える。

(1) OA間の平均の速さを求める。

(2) 打点Oの時刻を0とし、横軸に時間$t$[s]、縦軸に速さ$v$[m/s]をとった$v$-$t$グラフを描く。

(3) 物体の加速度の大きさを求める。

2. 解き方の手順

(1) OA間の平均の速さを求める。

まず、OA間の距離を求める。これは各区間の長さの合計である。

$OA = 3.4 + 5.1 + 6.8 + 8.5 + 10.2 = 34.0 \text{ cm} = 0.34 \text{ m}$

OA間の時間は、打点間隔が$1/10$秒なので、$5 \times \frac{1}{10} = 0.5$秒である。

平均の速さ $v_{avg}$は、

$v_{avg} = \frac{\text{移動距離}}{\text{時間}} = \frac{0.34}{0.5} = 0.68 \text{ m/s}$

(2) $v$-$t$グラフを描く。

打点Oの時刻を$t=0$とする。等加速度直線運動なので、$v$-$t$グラフは直線になる。

最初の打点の間隔は3.4 cm = 0.034 mなので、最初の区間の平均速度は$v_1 = \frac{0.034}{0.1} = 0.34 \text{ m/s}$。これは、$t=0$から$t=0.1$秒までの平均速度であるので、$t=0.05$秒の時の速度とみなせる。

同様に、2番目の区間の平均速度は$v_2 = \frac{0.051}{0.1} = 0.51 \text{ m/s}$で、$t=0.15$秒の時の速度とみなせる。

3番目の区間の平均速度は$v_3 = \frac{0.068}{0.1} = 0.68 \text{ m/s}$で、$t=0.25$秒の時の速度とみなせる。

4番目の区間の平均速度は$v_4 = \frac{0.085}{0.1} = 0.85 \text{ m/s}$で、$t=0.35$秒の時の速度とみなせる。

5番目の区間の平均速度は$v_5 = \frac{0.102}{0.1} = 1.02 \text{ m/s}$で、$t=0.45$秒の時の速度とみなせる。

これらの点をプロットして直線で結ぶと、$v$-$t$グラフが得られる。グラフを描く際には、$t=0$での速度を求める必要がある。

これは後述の(3)で加速度を求めてから、$v = v_0 + at$の式から計算できる。

(3) 加速度の大きさを求める。

加速度$a$は、速度の変化を時間の変化で割ったものである。

$a = \frac{\Delta v}{\Delta t}$

例えば、2番目の区間の平均速度$v_2$と最初の区間の平均速度$v_1$の時間間隔は0.1秒なので、加速度は

$a = \frac{0.51 - 0.34}{0.1} = \frac{0.17}{0.1} = 1.7 \text{ m/s}^2$

あるいは、3番目の区間の平均速度$v_3$と2番目の区間の平均速度$v_2$の時間間隔も0.1秒なので、加速度は

$a = \frac{0.68 - 0.51}{0.1} = \frac{0.17}{0.1} = 1.7 \text{ m/s}^2$

同様に、$v_4$と$v_3$, $v_5$と$v_4$でも計算すると$a = 1.7 \text{ m/s}^2$になる。

$v = v_0 + at$より、打点O ($t=0$) での速度は、例えば $v_1 = v_0 + a \times 0.05$に$v_1=0.34$と$a=1.7$を代入すると、

$0.34 = v_0 + 1.7 \times 0.05$となり、$v_0 = 0.34 - 0.085 = 0.255$ m/sとなる。

$t=0$で$v=0.255$ m/s、傾きが1.7 m/s$^2$の直線がv-tグラフになる。

3. 最終的な答え

(1) OA間の平均の速さ: 0.68 m/s

(2) $v$-$t$グラフ: $t=0$で$v=0.255$ m/sを通り、傾きが1.7 m/s$^2$の直線

(3) 加速度の大きさ: 1.7 m/s$^2$