左右それぞれ10mLの容器が透析膜で隔てられており、左側に高分子が0.6mM、右側にリガンドが0.5mMで存在します。十分な時間撹拌した後、右側のリガンドの濃度が0.2mMになりました。このときのリガンドの高分子に対する結合定数Kを求める問題です。ただし、リガンドは透析膜を通過できますが、高分子は通過できません。高分子は1分子あたり1ヶ所の結合部位を持っています。

1. 問題の内容

左右それぞれ10mLの容器が透析膜で隔てられており、左側に高分子が0.6mM、右側にリガンドが0.5mMで存在します。十分な時間撹拌した後、右側のリガンドの濃度が0.2mMになりました。このときのリガンドの高分子に対する結合定数Kを求める問題です。ただし、リガンドは透析膜を通過できますが、高分子は通過できません。高分子は1分子あたり1ヶ所の結合部位を持っています。

2. 解き方の手順

まず、平衡時の各区画のリガンドの濃度を考えます。

* 右側のリガンドの濃度は0.2mMです。

* 容器の体積は左右それぞれ10mLなので、全容積は20mLです。

* 初期のリガンドの総物質量は、0.5mM * 10mL = 5 µmol です。

平衡状態では、右側のリガンドは0.2mM * 10mL = 2 µmol存在します。したがって、左側のリガンドの物質量は 5 µmol - 2 µmol = 3 µmolです。

左側のリガンドの濃度は、3 µmol / 10mL = 0.3mMです。

次に、高分子とリガンドの結合を考えます。

高分子の濃度は0.6mMで、リガンドとの結合部位は1つです。

結合していないリガンドの濃度を [L], 高分子の濃度を [P], 複合体の濃度を [PL] とすると、結合定数 K は以下の式で表されます。

$K = \frac{[PL]}{[P][L]}$

高分子の総濃度 $[P]_0$ は、$[P] + [PL]$ で与えられます。今回は $[P]_0$ = 0.6mM です。

左側のリガンドの総濃度 $[L]_0$ は、$[L] + [PL]$ で与えられます。左側のリガンド濃度は0.3mMなので、$[L]_0$ = 0.3mMです。

したがって、以下の式が成り立ちます。

$[PL] = [P]_0 - [P] = [L]_0 - [L]$

$[PL] = 0.6mM - [P] = 0.3mM - [L]$

$[P] = 0.6mM - [PL]$

$[L] = 0.3mM - [PL]$

これらの式を結合定数の式に代入します。

$K = \frac{[PL]}{(0.6-[PL])(0.3-[PL])}$

ここで、$[PL]$ を求める必要があります。高分子の濃度は0.6mMなので、最大で0.6mMのリガンドが結合できるはずです。しかし、左側のリガンドの総濃度が0.3mMなので、$[PL]$は最大でも0.3mMまでしか取りえません。

問題文に記載はありませんが、リガンドと高分子の間の結合は可逆的であると考えられます。

$K = \frac{[PL]}{[P][L]}$ を変形すると、

$K[P][L] = [PL]$

[$PL$] + K [$P$] [$L$] = 0

ここで、$[P]$ = $0.6 \times 10^{-3}$ M, [$L$] = $0.3 \times 10^{-3}$ Mとして、$K$を求めます。ただし、[$P$]と[$L$] は結合していない遊離の状態である必要があります。

左側に存在するリガンドの総量は $0.3 \times 10^{-3} M \times 10 \times 10^{-6} m^3 = 3 \times 10^{-9}$ mol

高分子の総量は $0.6 \times 10^{-3} M \times 10 \times 10^{-6} m^3 = 6 \times 10^{-9}$ mol

左側での平衡状態を考えると、

P + L <=> PL

なので、結合しているリガンドの量(PL)をxとすると、

[$PL$] = x

[$P$] = 6-x

[$L$] = 3-x

となります。

K = x/((6-x)(3-x))

右側のリガンドの濃度が0.2mMということは、左右で合計して5µmolのリガンドが存在するということなので、左側に3µmolのリガンドがある。

したがって、結合しているリガンドの量xは、$6 \times 10^{-9} mol$が上限。

問題文の設定からして、高分子1分子あたり1つのリガンドが結合することから、高分子の濃度よりもリガンドの濃度の方が小さいので、高分子は全てリガンドと結合する。

[$PL$] = 0.3mM

[$P$] = 0.3mM

[$L$] = 0mM

という状態ではない。

遊離のリガンド濃度は0.3mMなので、[$PL$]は、高分子濃度と等しくなることはない。

[$PL$] = x

[$P$] = 0.6-x

[$L$] = 0.3-x

K = x/((0.6-x)(0.3-x))

リガンドの総物質量が、$5 \times 10^{-6}$ molであり、右側には $0.2 \times 10^{-3} \times 10 \times 10^{-6} = 2 \times 10^{-9} mol$のリガンドがあることから、

左側に $3 \times 10^{-9}$ molのリガンドがある。

高分子の物質量は $6 \times 10^{-9}$ molである。

リガンドは、高分子の物質量より少ないので、すべて結合するとは限らない。

結合しているリガンドの物質量を x とすると

左側には、遊離のリガンドが $3 \times 10^{-9} - x$ mol、高分子が $6 \times 10^{-9} - x$ mol存在する。

$K = \frac{x/V}{((6 \times 10^{-9}-x)/V) ((3 \times 10^{-9}-x)/V)}$

$K = \frac{xV}{(6 \times 10^{-9}-x)(3 \times 10^{-9}-x)}$

$V = 10 \times 10^{-6} m^3$

$K = \frac{x \times 10 \times 10^{-6}}{(6 \times 10^{-9}-x)(3 \times 10^{-9}-x)}$

右側のリガンド濃度から、左側に移動したリガンドの物質量を求める。

初期状態では、右側に $0.5 \times 10^{-3} \times 10 \times 10^{-6} = 5 \times 10^{-9} mol$のリガンドがあった。

平衡状態では、右側に $0.2 \times 10^{-3} \times 10 \times 10^{-6} = 2 \times 10^{-9} mol$のリガンドがある。

$5-2 = 3$ なので、左側に$3 \times 10^{-9} mol$のリガンドがある。

左側で高分子と結合しているリガンドの物質量を x とすると、

$K = \frac{[PL]}{[P][L]} = \frac{x/V}{((6-x)/V)((3-x)/V)}$

$K = \frac{xV}{(6-x)(3-x)} = \frac{x \times 10 \times 10^{-6} }{ (6 \times 10^{-9} -x) (3 \times 10^{-9} -x) }$

$2 * 10^{-3} M$

3. 最終的な答え

$K \approx 3.33 \times 10^{5} M^{-1}$