質量がそれぞれ $m_1$, $m_2$ ($m_1 > m_2$) である2つのボールが、同じ運動量で滑らかな床を滑ってきた。同じ力で受け止めた場合、(a) ボールが停止するまでにかかる時間、(b) ボールが停止するまでにかかる距離はそれぞれどちらがどれだけ長いか。摩擦や空気抵抗は無視する。

1. 問題の内容

質量がそれぞれ $m_1$, $m_2$ ($m_1 > m_2$) である2つのボールが、同じ運動量で滑らかな床を滑ってきた。同じ力で受け止めた場合、(a) ボールが停止するまでにかかる時間、(b) ボールが停止するまでにかかる距離はそれぞれどちらがどれだけ長いか。摩擦や空気抵抗は無視する。

2. 解き方の手順

(a) 時間について

運動量を $p$、力を $F$、停止するまでの時間を $t$ とする。力積と運動量の関係より、

$F t = \Delta p$

ボールは停止するので、運動量の変化は $-p$ である。したがって、

$F t = p$

$t = \frac{p}{F}$

問題文より、運動量 $p$ と力 $F$ は2つのボールで共通なので、停止するまでの時間は2つのボールで同じである。

(b) 距離について

ボールが停止するまでの距離を $x$ とする。等加速度運動の公式より、

$v^2 - v_0^2 = 2 a x$

停止するので、$v = 0$。$v_0$ は初速度、$a$ は加速度。よって、

$-v_0^2 = 2 a x$

$x = -\frac{v_0^2}{2a}$

運動量 $p = m v_0$ より、$v_0 = \frac{p}{m}$。

また、運動方程式 $F = m a$ より、$a = \frac{F}{m}$。

したがって、

$x = -\frac{(\frac{p}{m})^2}{2 \frac{F}{m}} = -\frac{p^2}{2 m^2} \frac{m}{F} = -\frac{p^2}{2 m F}$

距離は正なので、絶対値を取ると、

$x = \frac{p^2}{2 m F}$

$p$ と $F$ は2つのボールで共通なので、$x$ は $m$ に反比例する。$m_1 > m_2$ より、$x_1 < x_2$。したがって、質量 $m_2$ のボールの方が停止するまでの距離が長い。

距離の差は、

$x_2 - x_1 = \frac{p^2}{2 m_2 F} - \frac{p^2}{2 m_1 F} = \frac{p^2}{2F} (\frac{1}{m_2} - \frac{1}{m_1}) = \frac{p^2}{2F} \frac{m_1 - m_2}{m_1 m_2}$

3. 最終的な答え

(a) ボールの動きを止めるまでにかかる時間は同じ。

(b) 質量 $m_2$ のボールの方が長く、その差は $\frac{p^2}{2F} \frac{m_1 - m_2}{m_1 m_2}$。