100 mol の窒素を 200 L の容器に入れ、-73 ℃ に冷却したときの圧力を求める問題です。 (1) 窒素が理想気体としてふるまうときの圧力を求めます。 (2) 実在気体が低温・高圧で理想気体の状態方程式に完全に従わない理由を2つ述べます。 (3) 窒素が実在気体としてふるまうときの圧力を求めます。窒素のファンデルワールス定数は、$a = 0.139 \text{ Pa m}^6 \text{ mol}^{-2}$、$b = 3.87 \times 10^{-5} \text{ m}^3 \text{ mol}^{-1}$ です。 気体定数 $R = 8.31 \text{ J mol}^{-1} \text{ K}^{-1}$ です。

1. 問題の内容

100 mol の窒素を 200 L の容器に入れ、-73 ℃ に冷却したときの圧力を求める問題です。

(1) 窒素が理想気体としてふるまうときの圧力を求めます。

(2) 実在気体が低温・高圧で理想気体の状態方程式に完全に従わない理由を2つ述べます。

(3) 窒素が実在気体としてふるまうときの圧力を求めます。窒素のファンデルワールス定数は、$a = 0.139 \text{ Pa m}^6 \text{ mol}^{-2}$、$b = 3.87 \times 10^{-5} \text{ m}^3 \text{ mol}^{-1}$ です。

気体定数 $R = 8.31 \text{ J mol}^{-1} \text{ K}^{-1}$ です。

2. 解き方の手順

(1) 理想気体の状態方程式 $PV = nRT$ を用いて圧力を計算します。

$P$ が求める圧力、 $V$ が体積 (200 L = 0.2 m³)、 $n$ が物質量 (100 mol)、 $R$ が気体定数、 $T$ が絶対温度 ($-73^\circ\text{C} = 200 \text{ K}$) です。

$P = \frac{nRT}{V}$

(2) 実在気体が理想気体の状態方程式に従わない理由は、以下の2点です。

* 気体分子自身の体積を無視できない。

* 分子間力を無視できない。

(3) ファンデルワールスの状態方程式 $\left(P + \frac{an^2}{V^2}\right)(V - nb) = nRT$ を用いて圧力を計算します。

$P$ が求める圧力、 $V$ が体積 (0.2 m³)、 $n$ が物質量 (100 mol)、 $R$ が気体定数、 $T$ が絶対温度 (200 K)、 $a$ と $b$ がファンデルワールス定数です。

$\left(P + \frac{an^2}{V^2}\right)(V - nb) = nRT$

$P = \frac{nRT}{V - nb} - \frac{an^2}{V^2}$

(1) 理想気体の場合:

$P = \frac{nRT}{V} = \frac{100 \text{ mol} \times 8.31 \text{ J mol}^{-1} \text{ K}^{-1} \times 200 \text{ K}}{0.2 \text{ m}^3} = 831000 \text{ Pa} = 8.31 \times 10^5 \text{ Pa}$

(3) 実在気体の場合:

$P = \frac{nRT}{V - nb} - \frac{an^2}{V^2}$

$P = \frac{100 \text{ mol} \times 8.31 \text{ J mol}^{-1} \text{ K}^{-1} \times 200 \text{ K}}{0.2 \text{ m}^3 - 100 \text{ mol} \times 3.87 \times 10^{-5} \text{ m}^3 \text{ mol}^{-1}} - \frac{0.139 \text{ Pa m}^6 \text{ mol}^{-2} \times (100 \text{ mol})^2}{(0.2 \text{ m}^3)^2}$

$P = \frac{166200 \text{ J}}{0.2 \text{ m}^3 - 0.00387 \text{ m}^3} - \frac{1390 \text{ Pa m}^6}{0.04 \text{ m}^6}$

$P = \frac{166200 \text{ J}}{0.19613 \text{ m}^3} - 34750 \text{ Pa}$

$P = 847480 \text{ Pa} - 34750 \text{ Pa} = 812730 \text{ Pa} \approx 8.13 \times 10^5 \text{ Pa}$

3. 最終的な答え

(1) $8.31 \times 10^5 \text{ Pa}$

(2) 分子自身の体積を無視できない、分子間力を無視できない

(3) $8.13 \times 10^5 \text{ Pa}$