2人の少年が廊下でキャッチボールをしています。天井の高さは少年の肩の高さから $h$ です。ボールは少年の肩の高さから初速 $v \le v_0$ で、角度 $\theta$ で投げ出され、同じ高さで捕球されます。天井に当たらない範囲で、2人の距離 $R$ の最大値を $h$ を用いて求めよ。重力加速度は $g$ です。

1. 問題の内容

2人の少年が廊下でキャッチボールをしています。天井の高さは少年の肩の高さから $h$ です。ボールは少年の肩の高さから初速 $v \le v_0$ で、角度 $\theta$ で投げ出され、同じ高さで捕球されます。天井に当たらない範囲で、2人の距離 $R$ の最大値を $h$ を用いて求めよ。重力加速度は $g$ です。

2. 解き方の手順

ボールが天井に当たらない条件を考慮して、距離 $R$ を最大にする $\theta$ を求めます。

まず、ボールが放物運動をする際の水平方向の到達距離 $R$ は、初速 $v$、投射角 $\theta$ を用いて、次のように表されます。

$R = \frac{v^2 \sin(2\theta)}{g}$

$R$ が最大となるのは $\sin(2\theta) = 1$ のとき、つまり $2\theta = \frac{\pi}{2}$、$\theta = \frac{\pi}{4}$ のときです。このとき、$R = \frac{v^2}{g}$ となります。しかし、このとき天井に当たる可能性があります。

ボールが最高点に達するまでの時間は $t = \frac{v \sin(\theta)}{g}$ です。

最高点の高さ $H$ は、

$H = v \sin(\theta) t - \frac{1}{2}gt^2 = \frac{v^2 \sin^2(\theta)}{g} - \frac{v^2 \sin^2(\theta)}{2g} = \frac{v^2 \sin^2(\theta)}{2g}$

天井に当たらない条件は $H \le h$ 、つまり $\frac{v^2 \sin^2(\theta)}{2g} \le h$ です。

この条件より、$v^2 \le \frac{2gh}{\sin^2(\theta)}$

これを距離 $R$ の式に代入すると、

$R = \frac{v^2 \sin(2\theta)}{g} \le \frac{2gh}{\sin^2(\theta)} \frac{\sin(2\theta)}{g} = \frac{2h \cdot 2\sin(\theta)\cos(\theta)}{\sin^2(\theta)} = \frac{4h \cos(\theta)}{\sin(\theta)} = 4h \cot(\theta)$

$v \le v_0$ より、$R \le \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$ と $H \le h$、つまり $\frac{v_0^2 \sin^2(\theta)}{2g} \le h$ の両方を満たす必要があります。

$\sin^2(\theta) \le \frac{2gh}{v_0^2}$ なので、$\sin(\theta) \le \sqrt{\frac{2gh}{v_0^2}}$。

$R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$ を最大化するためには、$\theta$ を大きくしたい。

$\theta = \arcsin\left(\sqrt{\frac{2gh}{v_0^2}}\right)$

この時の $R$ の最大値は $R = \frac{v_0^2 \sin\left(2 \arcsin\left(\sqrt{\frac{2gh}{v_0^2}}\right)\right)}{g}$

$\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$ を用いると、

$R = \frac{v_0^2}{g} 2 \sqrt{\frac{2gh}{v_0^2}}\sqrt{1-\frac{2gh}{v_0^2}} = \frac{2v_0^2}{g} \sqrt{\frac{2gh}{v_0^2} \left(1-\frac{2gh}{v_0^2}\right)} = \frac{2v_0^2}{g} \sqrt{\frac{2gh}{v_0^2} - \frac{4g^2h^2}{v_0^4}} = \frac{2v_0}{g} \sqrt{2gh - \frac{4g^2h^2}{v_0^2}}$

3. 最終的な答え

$R_{max} = \frac{2v_0}{g} \sqrt{2gh - \frac{4g^2h^2}{v_0^2}}$