与えられた関数 $y = \sin(2x^3 + x^2)$ の導関数が $y' = (ax^2 + 2x) \cos(2x^3 + x^2)$ であるとき、定数 $a$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \sin(2x^3 + x^2)$ の導関数が $y' = (ax^2 + 2x) \cos(2x^3 + x^2)$ であるとき、定数 $a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y = \sin(2x^3 + x^2)$ を微分します。合成関数の微分法を用いると、

$\frac{dy}{dx} = \cos(2x^3 + x^2) \cdot \frac{d}{dx}(2x^3 + x^2)$

ここで、$2x^3 + x^2$ の微分は、

$\frac{d}{dx}(2x^3 + x^2) = 6x^2 + 2x$

したがって、

$y' = (6x^2 + 2x) \cos(2x^3 + x^2)$

与えられた導関数 $y' = (ax^2 + 2x) \cos(2x^3 + x^2)$ と比較すると、

$ax^2 + 2x = 6x^2 + 2x$

この式から、$a = 6$ であることがわかります。

3. 最終的な答え

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