関数 $y = \frac{x^5}{5} + \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3}$ の導関数が $y' = x^4 + ax^3 + x^2$ で与えられているとき、$a$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{x^5}{5} + \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3}$ の導関数が $y' = x^4 + ax^3 + x^2$ で与えられているとき、$a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $y$ を微分します。

$y = \frac{x^5}{5} + \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3}$ を $x$ で微分すると、

$\frac{d}{dx}(\frac{x^5}{5}) = \frac{1}{5} \cdot 5x^4 = x^4$

$\frac{d}{dx}(\frac{x^4}{4}) = \frac{1}{4} \cdot 4x^3 = x^3$

$\frac{d}{dx}(\frac{x^3}{3}) = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 = x^2$

したがって、$y$ の導関数 $y'$ は、

$y' = x^4 + x^3 + x^2$

与えられた導関数は $y' = x^4 + ax^3 + x^2$ なので、$x^3$ の係数を比較すると、

$a = 1$

となります。

3. 最終的な答え

$a = 1$