2つの直線 $ax - 3y + 2 = 0$ と $(a-2)x + y - 3 = 0$ が平行となるような $a$ の値と、垂直となるような $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

2つの直線 $ax - 3y + 2 = 0$ と $(a-2)x + y - 3 = 0$ が平行となるような $a$ の値と、垂直となるような $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、2つの直線が平行となる条件を考える。2つの直線が平行であるためには、それぞれの直線の傾きが等しくなければならない。それぞれの直線の傾きを求める。

直線 $ax - 3y + 2 = 0$ は、$3y = ax + 2$ より、$y = \frac{a}{3}x + \frac{2}{3}$ となる。したがって、この直線の傾きは $\frac{a}{3}$ である。

直線 $(a-2)x + y - 3 = 0$ は、$y = -(a-2)x + 3 = (2-a)x + 3$ となる。したがって、この直線の傾きは $2-a$ である。

平行である条件より、

$$\frac{a}{3} = 2 - a$$

$$a = 6 - 3a$$

$$4a = 6$$

$$a = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$$

次に、2つの直線が垂直となる条件を考える。2つの直線が垂直であるためには、それぞれの直線の傾きの積が $-1$ とならなければならない。

$$\frac{a}{3} \cdot (2-a) = -1$$

$$a(2-a) = -3$$

$$2a - a^2 = -3$$

$$a^2 - 2a - 3 = 0$$

$$(a-3)(a+1) = 0$$

$$a = 3, -1$$

3. 最終的な答え

平行となる $a$ の値は $\frac{3}{2}$ である。

垂直となる $a$ の値は $3, -1$ である。