与えられた3つの等比数列について、一般項 $a_n$ と第5項を求める問題です。

はい、承知いたしました。以下の形式で回答します。

1. 問題の内容

与えられた3つの等比数列について、一般項 $a_n$ と第5項を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 数列：-3, -9, -27, ...

初項 $a = -3$、公比 $r = \frac{-9}{-3} = 3$

一般項: $a_n = a \cdot r^{n-1} = -3 \cdot 3^{n-1} = -3^n$

第5項: $a_5 = -3^5 = -243$

(2) 数列：$-\sqrt{3}, 6, -12\sqrt{3}, ...$

初項 $a = -\sqrt{3}$、公比 $r = \frac{6}{-\sqrt{3}} = \frac{6}{-\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{-3} = -2\sqrt{3}$

一般項: $a_n = a \cdot r^{n-1} = -\sqrt{3} \cdot (-2\sqrt{3})^{n-1}$

第5項: $a_5 = -\sqrt{3} \cdot (-2\sqrt{3})^4 = -\sqrt{3} \cdot (16 \cdot 9) = -144\sqrt{3}$

(3) 数列：$\frac{1}{9}, \frac{1}{27}, \frac{1}{81}, ...$

初項 $a = \frac{1}{9}$、公比 $r = \frac{\frac{1}{27}}{\frac{1}{9}} = \frac{1}{27} \cdot 9 = \frac{1}{3}$

一般項: $a_n = a \cdot r^{n-1} = \frac{1}{9} \cdot (\frac{1}{3})^{n-1} = \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{3^{n-1}} = \frac{1}{3^2} \cdot \frac{1}{3^{n-1}} = \frac{1}{3^{n+1}} = (\frac{1}{3})^{n+1}$

第5項: $a_5 = (\frac{1}{3})^{5+1} = (\frac{1}{3})^6 = \frac{1}{729}$

3. 最終的な答え

(1) 一般項: $-3^n$、第5項: -243

(2) 一般項: $-\sqrt{3} \cdot (-2\sqrt{3})^{n-1}$、第5項: $-144\sqrt{3}$

(3) 一般項: $(\frac{1}{3})^{n+1}$、第5項: $\frac{1}{729}$