$x > 0$ のとき、不等式 $x + \frac{9}{x} \geq 6$ が成り立つことを証明し、等号が成り立つ条件を求める問題です。

1. 問題の内容

$x > 0$ のとき、不等式 $x + \frac{9}{x} \geq 6$ が成り立つことを証明し、等号が成り立つ条件を求める問題です。

2. 解き方の手順

相加平均・相乗平均の不等式を利用します。$x>0$ なので、$x$ と $\frac{9}{x}$ はともに正の数です。したがって、相加平均・相乗平均の不等式が適用できます。

相加平均・相乗平均の不等式より、

$$\frac{x + \frac{9}{x}}{2} \geq \sqrt{x \cdot \frac{9}{x}}$$

$$\frac{x + \frac{9}{x}}{2} \geq \sqrt{9}$$

$$\frac{x + \frac{9}{x}}{2} \geq 3$$

両辺に2をかけて、

$$x + \frac{9}{x} \geq 6$$

したがって、不等式 $x + \frac{9}{x} \geq 6$ が成り立つことが証明されました。

等号が成り立つのは、$x = \frac{9}{x}$ のときです。

$x^2 = 9$

$x = \pm 3$

$x > 0$ より、$x = 3$

3. 最終的な答え

$x + \frac{9}{x} \geq 6$ が成り立つ。等号が成り立つのは $x = 3$ のとき。