(3) $\sqrt{\frac{80n}{3}}$ の値が自然数となるような自然数 $n$ のうち、最も小さいものを求めなさい。 (4) $\sqrt{27(115-2n)}$ の値が自然数となるような自然数 $n$ をすべて求めなさい。

1. 問題の内容

(3) $\sqrt{\frac{80n}{3}}$ の値が自然数となるような自然数 $n$ のうち、最も小さいものを求めなさい。

(4) $\sqrt{27(115-2n)}$ の値が自然数となるような自然数 $n$ をすべて求めなさい。

2. 解き方の手順

(3)

$\sqrt{\frac{80n}{3}}$ が自然数となるためには、$\frac{80n}{3}$ が平方数である必要があります。まず、80を素因数分解します。

$80 = 2^4 \times 5$

したがって、

$\frac{80n}{3} = \frac{2^4 \times 5 \times n}{3}$

この式が平方数になるためには、$n$ は少なくとも $3 \times 5 = 15$ を約数として持つ必要があります。なぜなら、分母の3を打ち消すために3が必要で、分子の5の指数が奇数なので、5が必要だからです。

$n = 3 \times 5 \times k^2 = 15k^2$

ここで $k=1$ とすると、$n=15$ となり、このとき

$\sqrt{\frac{80n}{3}} = \sqrt{\frac{2^4 \times 5 \times 3 \times 5}{3}} = \sqrt{2^4 \times 5^2} = 2^2 \times 5 = 20$

これは自然数なので、$n=15$ が求める最小の自然数です。

(4)

$\sqrt{27(115-2n)}$ が自然数となるためには、$27(115-2n)$ が平方数である必要があります。

$27 = 3^3$

なので、

$27(115-2n) = 3^3(115-2n)$

この式が平方数になるためには、$115-2n$ が少なくとも $3$ を約数として持つ必要があります。

つまり、$115-2n = 3k^2$ (kは整数)の形になる必要があります。また、$115-2n$ は正の数である必要があるので、$115 > 2n$ つまり $n < \frac{115}{2} = 57.5$ でなくてはなりません。$n$ は自然数なので、$n \le 57$ です。

$27(115-2n) = 3^3 (115-2n) = 3^3 (3k^2) = 3^4 k^2 = (3^2 k)^2 = (9k)^2$

したがって、

$115-2n = 3k^2$

$2n = 115 - 3k^2$

$n = \frac{115-3k^2}{2}$

$n$ が自然数となるためには、$115-3k^2$ が偶数でなくてはなりません。つまり、$3k^2$ が奇数となる必要があり、$k$ が奇数である必要があります。また、$n>0$ である必要があるので、$115-3k^2 > 0$ 、つまり $3k^2 < 115$、$k^2 < \frac{115}{3} = 38.33...$ です。したがって、$k$ は $1, 3, 5$ のいずれかです。

- $k=1$ のとき $n = \frac{115-3(1)^2}{2} = \frac{112}{2} = 56$

- $k=3$ のとき $n = \frac{115-3(3)^2}{2} = \frac{115-27}{2} = \frac{88}{2} = 44$

- $k=5$ のとき $n = \frac{115-3(5)^2}{2} = \frac{115-75}{2} = \frac{40}{2} = 20$

3. 最終的な答え

(3) $n=15$

(4) $n = 20, 44, 56$