$a$ を正の数とするとき、2次方程式 $x^2 - ax + 1 = 0$ が $p-q=1$ を満たす実数解 $p$ と $q$ をもつとき、$a$ と $p$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$a$ を正の数とするとき、2次方程式 $x^2 - ax + 1 = 0$ が $p-q=1$ を満たす実数解 $p$ と $q$ をもつとき、$a$ と $p$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

2次方程式 $x^2 - ax + 1 = 0$ の解が $p$ と $q$ であることから、解と係数の関係より

$p + q = a$

$pq = 1$

が成り立ちます。

また、$p - q = 1$ が与えられています。

$p + q = a$ と $p - q = 1$ を足し合わせると、

$2p = a+1$

よって、

$p = \frac{a+1}{2}$

$p - q = 1$ より $q = p - 1$ なので、$pq = 1$ に代入すると

$p(p-1) = 1$

$p^2 - p - 1 = 0$

$p = \frac{a+1}{2}$ を $p^2 - p - 1 = 0$ に代入すると

$(\frac{a+1}{2})^2 - \frac{a+1}{2} - 1 = 0$

$\frac{a^2 + 2a + 1}{4} - \frac{2a+2}{4} - \frac{4}{4} = 0$

$a^2 + 2a + 1 - 2a - 2 - 4 = 0$

$a^2 - 5 = 0$

$a^2 = 5$

$a = \pm \sqrt{5}$

$a$ は正の数なので、$a = \sqrt{5}$ となります。

このとき、$p = \frac{a+1}{2} = \frac{\sqrt{5}+1}{2}$ となります。

3. 最終的な答え

$a = \sqrt{5}$

$p = \frac{\sqrt{5}+1}{2}$