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与えられた式を計算します。式は $\frac{\sqrt{5} - 3}{\sqrt{5} + 1} - \frac{\sqrt{5} + 1}{\sqrt{5} - 3}$ です。

代数学式の計算有理化平方根
2025/6/21

1. 問題の内容

与えられた式を計算します。式は
5−35+1−5+15−3\frac{\sqrt{5} - 3}{\sqrt{5} + 1} - \frac{\sqrt{5} + 1}{\sqrt{5} - 3}
です。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの分数を有理化します。
最初の分数 5−35+1\frac{\sqrt{5} - 3}{\sqrt{5} + 1} を有理化します。分母の共役な複素数は 5−1\sqrt{5} - 1 なので、分子と分母にこれを掛けます。
5−35+1=(5−3)(5−1)(5+1)(5−1)=5−5−35+35−1=8−454=2−5\frac{\sqrt{5} - 3}{\sqrt{5} + 1} = \frac{(\sqrt{5} - 3)(\sqrt{5} - 1)}{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1)} = \frac{5 - \sqrt{5} - 3\sqrt{5} + 3}{5 - 1} = \frac{8 - 4\sqrt{5}}{4} = 2 - \sqrt{5}
次に、2番目の分数 5+15−3\frac{\sqrt{5} + 1}{\sqrt{5} - 3} を有理化します。分母の共役な複素数は 5+3\sqrt{5} + 3 なので、分子と分母にこれを掛けます。
5+15−3=(5+1)(5+3)(5−3)(5+3)=5+35+5+35−9=8+45−4=−2−5\frac{\sqrt{5} + 1}{\sqrt{5} - 3} = \frac{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} + 3)}{(\sqrt{5} - 3)(\sqrt{5} + 3)} = \frac{5 + 3\sqrt{5} + \sqrt{5} + 3}{5 - 9} = \frac{8 + 4\sqrt{5}}{-4} = -2 - \sqrt{5}
したがって、与えられた式は
(2−5)−(−2−5)=2−5+2+5=4(2 - \sqrt{5}) - (-2 - \sqrt{5}) = 2 - \sqrt{5} + 2 + \sqrt{5} = 4

3. 最終的な答え

4

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