$\sqrt{2}$ の値として $1.4142$ 、$\sqrt{3}$ の値として $1.7321$ を使うとき、以下の値を分母の有理化を利用して求めよ。 (1) $\frac{1}{\sqrt{2}}$ (2) $\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}$ (3) $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

$\sqrt{2}$ の値として $1.4142$ 、$\sqrt{3}$ の値として $1.7321$ を使うとき、以下の値を分母の有理化を利用して求めよ。

(1) $\frac{1}{\sqrt{2}}$

(2) $\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}$

(3) $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$

2. 解き方の手順

(1)

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ の分母を有理化します。分母と分子に $\sqrt{2}$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sqrt{2} = 1.4142$ を代入します。

$\frac{1.4142}{2} = 0.7071$

(2)

$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}$ の分母を有理化します。分母と分子に $\sqrt{3}-1$ をかけます。

$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1} = \frac{2\sqrt{3} \times (\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1) \times (\sqrt{3}-1)} = \frac{2(3-\sqrt{3})}{3-1} = \frac{2(3-\sqrt{3})}{2} = 3 - \sqrt{3}$

$\sqrt{3} = 1.7321$ を代入します。

$3 - 1.7321 = 1.2679$

(3)

$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$ の分母を有理化します。分母と分子に $\sqrt{2}-\sqrt{3}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6} \times (\sqrt{2}-\sqrt{3})}{(\sqrt{2}+\sqrt{3}) \times (\sqrt{2}-\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{12}-\sqrt{18}}{2-3} = \frac{2\sqrt{3}-3\sqrt{2}}{-1} = 3\sqrt{2}-2\sqrt{3}$

$\sqrt{2} = 1.4142$ と $\sqrt{3} = 1.7321$ を代入します。

$3 \times 1.4142 - 2 \times 1.7321 = 4.2426 - 3.4642 = 0.7784$

3. 最終的な答え

(1) $0.7071$

(2) $1.2679$

(3) $0.7784$