数列 $\{a_n\}$ が与えられた漸化式 $a_{n+1} - a_n = 4^n$ と初期条件 $a_1 = 1$ を満たすとき、一般項 $a_n$ を求める。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が与えられた漸化式 $a_{n+1} - a_n = 4^n$ と初期条件 $a_1 = 1$ を満たすとき、一般項 $a_n$ を求める。

2. 解き方の手順

与えられた漸化式は階差数列を表しているので、$n \ge 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (a_{k+1} - a_k)$

と表すことができる。これに与えられた漸化式 $a_{k+1} - a_k = 4^k$ と初期条件 $a_1 = 1$ を代入すると、

$a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} 4^k$

となる。$\sum_{k=1}^{n-1} 4^k$ は初項 4、公比 4、項数 $n-1$ の等比数列の和なので、

$\sum_{k=1}^{n-1} 4^k = \frac{4(4^{n-1} - 1)}{4 - 1} = \frac{4(4^{n-1} - 1)}{3} = \frac{4^n - 4}{3}$

したがって、$n \ge 2$ のとき

$a_n = 1 + \frac{4^n - 4}{3} = \frac{3 + 4^n - 4}{3} = \frac{4^n - 1}{3}$

となる。

$n=1$ のとき $a_1 = \frac{4^1 - 1}{3} = \frac{3}{3} = 1$ となり、初期条件を満たす。よって、$n \ge 1$ でこの式は成立する。

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{4^n - 1}{3}$