$x = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{2}$, $y = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2}$ のとき、以下の式の値を求めよ。 (1) $x+y$ (2) $xy$

1. 問題の内容

$x = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{2}$, $y = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2}$ のとき、以下の式の値を求めよ。

(1) $x+y$

(2) $xy$

2. 解き方の手順

(1) $x+y$ を計算する。

$x+y = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2}$

$x+y = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5} + \sqrt{7} - \sqrt{5}}{2}$

$x+y = \frac{2\sqrt{7}}{2}$

$x+y = \sqrt{7}$

(2) $xy$ を計算する。

$xy = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{2} \times \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2}$

$xy = \frac{(\sqrt{7} + \sqrt{5})(\sqrt{7} - \sqrt{5})}{4}$

$xy = \frac{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2}{4}$

$xy = \frac{7 - 5}{4}$

$xy = \frac{2}{4}$

$xy = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $x+y = \sqrt{7}$

(2) $xy = \frac{1}{2}$