数列 $\{a_n\}$ が、$a_1 = 1$ および漸化式 $a_{n+1} - a_n = 4^n$ で定義されるとき、一般項 $a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が、$a_1 = 1$ および漸化式 $a_{n+1} - a_n = 4^n$ で定義されるとき、一般項 $a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた漸化式 $a_{n+1} - a_n = 4^n$ をもとに、$a_n$ を計算していきます。

まず、$n \ge 2$ のとき、次のように考えます。

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (a_{k+1} - a_k)$

与えられた漸化式を代入すると、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 4^k$

ここで、$a_1 = 1$ なので、

$a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} 4^k$

$\sum_{k=1}^{n-1} 4^k$ は初項 $4$, 公比 $4$, 項数 $n-1$ の等比数列の和なので、

$\sum_{k=1}^{n-1} 4^k = \frac{4(4^{n-1} - 1)}{4 - 1} = \frac{4(4^{n-1} - 1)}{3} = \frac{4^n - 4}{3}$

したがって、$n \ge 2$ のとき、

$a_n = 1 + \frac{4^n - 4}{3} = \frac{3 + 4^n - 4}{3} = \frac{4^n - 1}{3}$

$n=1$ のとき、$a_1 = \frac{4^1 - 1}{3} = \frac{3}{3} = 1$ なので、この式は $n=1$ のときも成り立ちます。

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{4^n - 1}{3}$