(1) 実数 $a$ を定数とする。2次関数 $y=x^2 - 2ax + 3a$ の $0 \le x \le 4$ における最小値が $-4$ のとき、$a$ の値を求める。 (2) 実数 $t$ について、区間 $t \le x \le t+1$ における実数 $x$ の関数 $f(x) = x^2 - 6x + 2$ の最小値を求める。

1. 問題の内容

(1) 実数 $a$ を定数とする。2次関数 $y=x^2 - 2ax + 3a$ の $0 \le x \le 4$ における最小値が $-4$ のとき、$a$ の値を求める。

(2) 実数 $t$ について、区間 $t \le x \le t+1$ における実数 $x$ の関数 $f(x) = x^2 - 6x + 2$ の最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、与えられた2次関数を平方完成する。

$y = x^2 - 2ax + 3a = (x - a)^2 - a^2 + 3a$

軸は $x=a$ である。

場合分けをして考える。

(i) $a < 0$ のとき、区間 $0 \le x \le 4$ で $x=0$ のとき最小値をとる。

$y(0) = 0^2 - 2a(0) + 3a = 3a$

$3a = -4$ より、$a = -\frac{4}{3}$

これは、$a<0$ を満たす。

(ii) $0 \le a \le 4$ のとき、区間 $0 \le x \le 4$ で $x=a$ のとき最小値をとる。

$y(a) = -a^2 + 3a$

$-a^2 + 3a = -4$

$a^2 - 3a - 4 = 0$

$(a-4)(a+1) = 0$

$a = 4, -1$

$0 \le a \le 4$ を満たすのは、$a = 4$ である。

(iii) $a > 4$ のとき、区間 $0 \le x \le 4$ で $x=4$ のとき最小値をとる。

$y(4) = 4^2 - 2a(4) + 3a = 16 - 8a + 3a = 16 - 5a$

$16 - 5a = -4$

$5a = 20$

$a = 4$

これは、$a>4$ を満たさない。

したがって、$a = -\frac{4}{3}, 4$

(2)

$f(x) = x^2 - 6x + 2 = (x-3)^2 - 7$

軸は $x=3$

場合分けをして考える。

(i) $t+1 < 3$ つまり $t < 2$ のとき、区間 $t \le x \le t+1$ で $x=t+1$ のとき最小値をとる。

$f(t+1) = (t+1)^2 - 6(t+1) + 2 = t^2 + 2t + 1 - 6t - 6 + 2 = t^2 - 4t - 3$

(ii) $t \le 3 \le t+1$ つまり $2 \le t \le 3$ のとき、区間 $t \le x \le t+1$ で $x=3$ のとき最小値をとる。

$f(3) = 3^2 - 6(3) + 2 = 9 - 18 + 2 = -7$

(iii) $t > 3$ のとき、区間 $t \le x \le t+1$ で $x=t$ のとき最小値をとる。

$f(t) = t^2 - 6t + 2$

したがって、

$t < 2$ のとき、$f(x)$ の最小値は $t^2 - 4t - 3$

$2 \le t \le 3$ のとき、$f(x)$ の最小値は $-7$

$t > 3$ のとき、$f(x)$ の最小値は $t^2 - 6t + 2$

3. 最終的な答え

(1) $a = -\frac{4}{3}, 4$

(2)

$t < 2$ のとき、$t^2 - 4t - 3$

$2 \le t \le 3$ のとき、$-7$

$t > 3$ のとき、$t^2 - 6t + 2$