数列 $\{a_n\}$ が与えられており、初項 $a_1 = 1$ で、漸化式が $a_{n+1} = a_n + \frac{1}{n(n+1)}$ と定義されています。この数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が与えられており、初項 $a_1 = 1$ で、漸化式が $a_{n+1} = a_n + \frac{1}{n(n+1)}$ と定義されています。この数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{1}{n(n+1)}$ を部分分数分解します。

$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+1}$

両辺に $n(n+1)$ を掛けると、

$1 = A(n+1) + Bn$

$n=0$ のとき、$1 = A(0+1) + B(0)$ より $A=1$。

$n=-1$ のとき、$1 = A(-1+1) + B(-1)$ より $B=-1$。

したがって、

$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$

漸化式は次のようになります。

$a_{n+1} = a_n + \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$

$a_{n+1} - a_n = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$

$n=1$ から $n=k$ まで足し合わせると、

$\sum_{n=1}^{k} (a_{n+1} - a_n) = \sum_{n=1}^{k} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right)$

左辺は、$a_2 - a_1 + a_3 - a_2 + \dots + a_{k+1} - a_k = a_{k+1} - a_1$ となります。

右辺は、$\left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \dots + \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right) = 1 - \frac{1}{k+1}$ となります。（telescoping sum）

したがって、

$a_{k+1} - a_1 = 1 - \frac{1}{k+1}$

$a_{k+1} = a_1 + 1 - \frac{1}{k+1}$

$a_1 = 1$ なので、

$a_{k+1} = 1 + 1 - \frac{1}{k+1} = 2 - \frac{1}{k+1}$

$n=k+1$ とすると、

$a_n = 2 - \frac{1}{n}$

$a_n = \frac{2n - 1}{n}$

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{2n-1}{n}$