$x+y=1$、$x^3+y^3=7$ のとき、$xy$、$x^2+y^2$、$x^6+y^6$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x+y=1$、$x^3+y^3=7$ のとき、$xy$、$x^2+y^2$、$x^6+y^6$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x^3+y^3$ を $(x+y)$ と $xy$ で表すことを考えます。

$x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2) = (x+y)((x+y)^2 - 3xy)$

与えられた条件 $x+y=1$、$x^3+y^3=7$ を代入すると、

$7 = 1(1^2 - 3xy)$

$7 = 1 - 3xy$

$3xy = -6$

$xy = -2$

次に、$x^2+y^2$ を求めます。

$x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy$

$x+y=1$、$xy=-2$ を代入すると、

$x^2+y^2 = 1^2 - 2(-2) = 1 + 4 = 5$

最後に、$x^6+y^6$ を求めます。

$x^6+y^6 = (x^3)^2 + (y^3)^2 = (x^3+y^3)^2 - 2x^3y^3$

$x^3+y^3=7$、$xy=-2$ を代入すると、

$x^6+y^6 = 7^2 - 2(-2)^3 = 49 - 2(-8) = 49 + 16 = 65$

3. 最終的な答え

$xy = -2$

$x^2+y^2 = 5$

$x^6+y^6 = 65$