$x, y$ は実数で、$x^2 + 2y^2 = 1$ を満たすとき、$F = x + 3y^2$ について、以下の問いに答えます。 (1) $x$ のとりうる値の範囲を求めます。 (2) $F$ の最大値を求め、そのときの $x, y$ の値を求めます。 (3) $F$ の最小値を求め、そのときの $x, y$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$x, y$ は実数で、$x^2 + 2y^2 = 1$ を満たすとき、$F = x + 3y^2$ について、以下の問いに答えます。

(1) $x$ のとりうる値の範囲を求めます。

(2) $F$ の最大値を求め、そのときの $x, y$ の値を求めます。

(3) $F$ の最小値を求め、そのときの $x, y$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $x^2 + 2y^2 = 1$ より、$2y^2 = 1 - x^2$ 。

$y$ は実数なので、$2y^2 \geq 0$ 。

したがって、$1 - x^2 \geq 0$ となり、$x^2 \leq 1$ 。

よって、$-1 \leq x \leq 1$ 。

(2) $x^2 + 2y^2 = 1$ より、$y^2 = \frac{1 - x^2}{2}$ 。これを $F = x + 3y^2$ に代入すると、

$F = x + 3(\frac{1 - x^2}{2}) = x + \frac{3}{2} - \frac{3}{2}x^2 = -\frac{3}{2}x^2 + x + \frac{3}{2}$

$F = -\frac{3}{2}(x^2 - \frac{2}{3}x) + \frac{3}{2} = -\frac{3}{2}(x - \frac{1}{3})^2 + \frac{3}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{9} = -\frac{3}{2}(x - \frac{1}{3})^2 + \frac{3}{2} + \frac{1}{6} = -\frac{3}{2}(x - \frac{1}{3})^2 + \frac{9 + 1}{6} = -\frac{3}{2}(x - \frac{1}{3})^2 + \frac{10}{6} = -\frac{3}{2}(x - \frac{1}{3})^2 + \frac{5}{3}$

$x = \frac{1}{3}$ のとき、$F$ は最大値 $\frac{5}{3}$ をとる。

このとき、$x^2 + 2y^2 = 1$ より、$(\frac{1}{3})^2 + 2y^2 = 1$ 、つまり $\frac{1}{9} + 2y^2 = 1$ 。

$2y^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

$y^2 = \frac{4}{9}$

$y = \pm \frac{2}{3}$

(3) $F = -\frac{3}{2}(x - \frac{1}{3})^2 + \frac{5}{3}$ は、$x$ の範囲 $-1 \leq x \leq 1$ で定義された二次関数である。

軸は $x = \frac{1}{3}$ であるから、$x = -1$ のときに最小値をとる。

$F = -\frac{3}{2}(-1 - \frac{1}{3})^2 + \frac{5}{3} = -\frac{3}{2}(-\frac{4}{3})^2 + \frac{5}{3} = -\frac{3}{2} \cdot \frac{16}{9} + \frac{5}{3} = -\frac{8}{3} + \frac{5}{3} = -\frac{3}{3} = -1$

$x = -1$ のとき、$x^2 + 2y^2 = 1$ より、$(-1)^2 + 2y^2 = 1$ 、つまり $1 + 2y^2 = 1$ 。

$2y^2 = 0$

$y^2 = 0$

$y = 0$

3. 最終的な答え

(1) $x$ のとりうる値の範囲は $-1 \leq x \leq 1$ 。

(2) $F$ の最大値は $\frac{5}{3}$ で、そのとき $x = \frac{1}{3}$ 、$y = \pm \frac{2}{3}$ 。

(3) $F$ の最小値は $-1$ で、そのとき $x = -1$ 、$y = 0$ 。