$a$ を正の定数とする。不等式 $|-2x+3| \le a$ を満たす正の整数 $x$ の個数が 5 個となるような $a$ の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ を正の定数とする。不等式 $|-2x+3| \le a$ を満たす正の整数 $x$ の個数が 5 個となるような $a$ の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、絶対値の不等式を解きます。

$|-2x+3| \le a$ は $-a \le -2x+3 \le a$ と同値です。

各辺から 3 を引くと、 $-a-3 \le -2x \le a-3$

各辺を -2 で割ると、 $\frac{3-a}{2} \le x \le \frac{3+a}{2}$ となります。

この不等式を満たす正の整数 $x$ が 5 個となるような $a$ を求めます。

つまり、$x = 1, 2, 3, 4, 5$ が解となるように $a$ の範囲を定めます。

$x=5$ が解となるためには、 $\frac{3+a}{2} \ge 5$ が必要です。

$3+a \ge 10$

$a \ge 7$

$x=6$ が解とならないためには、 $\frac{3+a}{2} < 6$ が必要です。

$3+a < 12$

$a < 9$

同様に、$x=1$ が解となるためには、$\frac{3-a}{2} \le 1$ が必要です。

$3-a \le 2$

$1 \le a$

$x=0$ が解とならないためには、$\frac{3-a}{2} > 0$ が必要です。

$3-a > 0$

$a < 3$

上記より、$x$ が正の整数であることから、$\frac{3-a}{2} \le x$ より、$1 \le x$ である必要があります。

$1 \le x \le \frac{3+a}{2}$ を満たす整数が $x = 1, 2, 3, 4, 5$ の 5 個であるためには、

$5 \le \frac{3+a}{2} < 6$

$10 \le 3+a < 12$

$7 \le a < 9$

同様に、$\frac{3-a}{2} < 1 \le \frac{3-a}{2} + 1$ を満たす必要があります。

$\frac{3-a}{2} < 1$ より $3-a < 2$ なので $1 < a$ です。

$x=5$ が解になるためには、 $\frac{3+a}{2} \ge 5$ かつ $\frac{3-a}{2} < 1$ を満たす必要があります。

$\frac{3+a}{2} \ge 5$ より $3+a \ge 10$ なので $a \ge 7$ です。

$\frac{3+a}{2} < 6$ より $3+a < 12$ なので $a < 9$ です。

また、$\frac{3-a}{2} < 1$ より $3-a < 2$ なので $a > 1$ です。

以上より $7 \le a < 9$ であり、$x$ が 5 個であるためには $7 \le a < 9$ を満たす最小の $a$ を求める必要があります。

$x=1,2,3,4,5$ が解となる必要十分条件は、$1 \le \frac{3+a}{2}$ かつ $\frac{3+a}{2} < 6$ および $\frac{3-a}{2} < 1$ かつ $\frac{3-a}{2} > 0$ を満たすことです。

この条件を満たす最小の $a$ を求める必要があります。

$x=5$ が含まれるためには、$\frac{3+a}{2} \ge 5$ が必要であり、$x=6$ が含まれないためには、 $\frac{3+a}{2} < 6$ が必要です。

したがって、$5 \le \frac{3+a}{2} < 6$ となります。

これから $10 \le 3+a < 12$ なので $7 \le a < 9$ となります。

$x=1$ が含まれるためには、$\frac{3-a}{2} \le 1$ が必要であり、$x=0$ が含まれないためには、$\frac{3-a}{2} > 0$ が必要です。

$\frac{3-a}{2} > 0$ より $3-a > 0$ であり、$a < 3$ です。

$x=1$ を含むためには $\frac{3-a}{2} < 1$ より $3-a < 2$ なので $a > 1$ です。

整数解が 5 個であることから $7 \le a < 9$ であり、$a$ の最小値は 7 です。

3. 最終的な答え

7