与えられた12個の式を計算し、簡単にしてください。これらの式には、平方根を含むものが含まれています。

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた12個の式を計算し、簡単にしてください。これらの式には、平方根を含むものが含まれています。

2. 解き方の手順

(1) $2\sqrt{3} + 5\sqrt{3}$

これは同類項の足し算なので、係数を足し合わせます。

$2\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = (2+5)\sqrt{3} = 7\sqrt{3}$

(2) $3\sqrt{5} + 7\sqrt{5} - 6\sqrt{5}$

これも同類項の足し算と引き算なので、係数を計算します。

$3\sqrt{5} + 7\sqrt{5} - 6\sqrt{5} = (3+7-6)\sqrt{5} = 4\sqrt{5}$

(3) $2\sqrt{6} - \sqrt{3} - 8\sqrt{6}$

これも同類項をまとめます。

$2\sqrt{6} - \sqrt{3} - 8\sqrt{6} = (2-8)\sqrt{6} - \sqrt{3} = -6\sqrt{6} - \sqrt{3}$

(4) $-\sqrt{28} + \sqrt{63}$

それぞれの平方根を簡単にします。

$\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$

$\sqrt{63} = \sqrt{9 \cdot 7} = 3\sqrt{7}$

したがって、

$-\sqrt{28} + \sqrt{63} = -2\sqrt{7} + 3\sqrt{7} = (3-2)\sqrt{7} = \sqrt{7}$

(5) $\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{4}$

分数を足し合わせます。

$\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{2\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{2\sqrt{3} + \sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$

(6) $\frac{3}{\sqrt{2}} - \frac{6}{\sqrt{6}}$

分母の有理化を行います。

$\frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$

$\frac{6}{\sqrt{6}} = \frac{6\sqrt{6}}{6} = \sqrt{6}$

したがって、

$\frac{3}{\sqrt{2}} - \frac{6}{\sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{2}}{2} - \sqrt{6} = \frac{3\sqrt{2}}{2} - \frac{2\sqrt{6}}{2} = \frac{3\sqrt{2} - 2\sqrt{6}}{2}$

(7) $\sqrt{5}(\sqrt{45} - 3)$

分配法則を用いて計算します。

$\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$

$\sqrt{5}(\sqrt{45} - 3) = \sqrt{5}(3\sqrt{5} - 3) = 3(\sqrt{5})^2 - 3\sqrt{5} = 3 \cdot 5 - 3\sqrt{5} = 15 - 3\sqrt{5}$

(8) $(\sqrt{3}+4)(\sqrt{3}-2)$

展開します。

$(\sqrt{3}+4)(\sqrt{3}-2) = (\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3} + 4\sqrt{3} - 8 = 3 + 2\sqrt{3} - 8 = -5 + 2\sqrt{3}$

(9) $(\sqrt{2} - \sqrt{3})^2$

展開します。

$(\sqrt{2} - \sqrt{3})^2 = (\sqrt{2})^2 - 2\sqrt{2}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 2 - 2\sqrt{6} + 3 = 5 - 2\sqrt{6}$

(10) $(1 + \sqrt{5})^2$

展開します。

$(1 + \sqrt{5})^2 = 1^2 + 2(1)(\sqrt{5}) + (\sqrt{5})^2 = 1 + 2\sqrt{5} + 5 = 6 + 2\sqrt{5}$

(11) $(\sqrt{7} + \sqrt{3})(\sqrt{7} - \sqrt{3})$

和と差の積の公式 $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ を用います。

$(\sqrt{7} + \sqrt{3})(\sqrt{7} - \sqrt{3}) = (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2 = 7 - 3 = 4$

(12) $(2\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-2)$

展開します。

$(2\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-2) = 2(\sqrt{2})^2 - 4\sqrt{2} - \sqrt{2} + 2 = 2(2) - 5\sqrt{2} + 2 = 4 - 5\sqrt{2} + 2 = 6 - 5\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $7\sqrt{3}$

(2) $4\sqrt{5}$

(3) $-6\sqrt{6} - \sqrt{3}$

(4) $\sqrt{7}$

(5) $\frac{3\sqrt{3}}{4}$

(6) $\frac{3\sqrt{2} - 2\sqrt{6}}{2}$

(7) $15 - 3\sqrt{5}$

(8) $-5 + 2\sqrt{3}$

(9) $5 - 2\sqrt{6}$

(10) $6 + 2\sqrt{5}$

(11) $4$

(12) $6 - 5\sqrt{2}$