不等式 $(a^2+b^2)(c^2+d^2) \geq (ac+bd)^2$ が成り立つことを証明し、等号が成り立つ条件を求める問題です。与えられた証明の空欄を埋めます。

1. 問題の内容

不等式 $(a^2+b^2)(c^2+d^2) \geq (ac+bd)^2$ が成り立つことを証明し、等号が成り立つ条件を求める問題です。与えられた証明の空欄を埋めます。

2. 解き方の手順

まず、与式の左辺から右辺を引いた式を展開し、整理します。

$(a^2+b^2)(c^2+d^2) - (ac+bd)^2 = a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2 - (a^2c^2 + 2abcd + b^2d^2) = a^2d^2 - 2abcd + b^2c^2$

この式を因数分解します。

$a^2d^2 - 2abcd + b^2c^2 = (ad - bc)^2$

したがって、

$(a^2+b^2)(c^2+d^2) - (ac+bd)^2 = (ad-bc)^2 \geq 0$

よって、$(a^2+b^2)(c^2+d^2) \geq (ac+bd)^2$ が成り立ちます。

等号が成り立つのは、 $(ad-bc)^2 = 0$ のとき、つまり $ad-bc = 0$ のときです。

この式を整理すると、$ad = bc$ となります。

$c \neq 0$ かつ $d \neq 0$のとき、$a/b = c/d$　と表現できます。

$ad=bc$を変形し、$a/c = b/d$ という表現もできます。

3. 最終的な答え

空欄に当てはまるのは、順に

* $(ad - bc)$

* $ad=bc$ (または $a/c = b/d$、または $a/b = c/d$ など同値な表現)

よって、答えは以下のようになります。

* $(a^2+b^2)(c^2+d^2) - (ac+bd)^2 = (ad - bc)^2 \geq 0$

* よって、$(a^2+b^2)(c^2+d^2) \geq (ac+bd)^2$

* また、等号は $ad=bc$ のときに成り立つ。