1, 2, 3, 4 の数字が書かれたカードがそれぞれ 2枚, 1枚, 1枚, 1枚ある。この中からカードを1枚ずつ元に戻さずに2枚続けて引くとき、偶数のカードを引く回数を $X$ とする。$X$ の確率分布と期待値 $E(X)$ が与えられており、$X$ の標準偏差を求める。

1. 問題の内容

1, 2, 3, 4 の数字が書かれたカードがそれぞれ 2枚, 1枚, 1枚, 1枚ある。この中からカードを1枚ずつ元に戻さずに2枚続けて引くとき、偶数のカードを引く回数を $X$ とする。$X$ の確率分布と期待値 $E(X)$ が与えられており、$X$ の標準偏差を求める。

2. 解き方の手順

まず、分散 $V(X)$ を求める。分散は、$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$ で計算できる。

$E(X^2)$ は、$X^2$ の期待値であるから、

$E(X^2) = 0^2 \cdot P(X=0) + 1^2 \cdot P(X=1) + 2^2 \cdot P(X=2)$

$E(X^2) = 0^2 \cdot \frac{3}{10} + 1^2 \cdot \frac{6}{10} + 2^2 \cdot \frac{1}{10}$

$E(X^2) = 0 + \frac{6}{10} + \frac{4}{10}$

$E(X^2) = \frac{10}{10} = 1$

問題文より、$E(X) = \frac{4}{5}$ であるから、

$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{25}{25} - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$

標準偏差 $\sigma(X)$ は、分散の平方根であるから、

$\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$

3. 最終的な答え

3/5