1, 2, 4, 5 の数字が書かれたカードがそれぞれ4枚, 3枚, 2枚, 1枚ある。この中から1枚引くときに出る数字を $X$ とする。$X$ の確率分布と期待値 $E(X)$ が与えられている。確率変数 $Y = -5X + 2$ の期待値と標準偏差を求めるために、$X$ の標準偏差を求めよ。

1. 問題の内容

1, 2, 4, 5 の数字が書かれたカードがそれぞれ4枚, 3枚, 2枚, 1枚ある。この中から1枚引くときに出る数字を $X$ とする。$X$ の確率分布と期待値 $E(X)$ が与えられている。確率変数 $Y = -5X + 2$ の期待値と標準偏差を求めるために、$X$ の標準偏差を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$X$ の分散 $V(X)$ を求める。分散は $E(X^2) - (E(X))^2$ で計算できる。$E(X)$ は問題文に与えられているので、$E(X^2)$ を計算する。

$E(X^2) = \sum x_i^2 P(X=x_i)$ で計算する。

$E(X^2) = 1^2 \cdot \frac{4}{10} + 2^2 \cdot \frac{3}{10} + 4^2 \cdot \frac{2}{10} + 5^2 \cdot \frac{1}{10} = \frac{4}{10} + \frac{12}{10} + \frac{32}{10} + \frac{25}{10} = \frac{73}{10} = 7.3$

次に、分散 $V(X)$ を計算する。

$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{73}{10} - (\frac{23}{10})^2 = \frac{73}{10} - \frac{529}{100} = \frac{730}{100} - \frac{529}{100} = \frac{201}{100} = 2.01$

最後に、$X$ の標準偏差 $\sigma(X)$ を求める。標準偏差は分散の平方根である。

$\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{\frac{201}{100}} = \frac{\sqrt{201}}{10} \approx \frac{14.177}{10} \approx 1.4177$

3. 最終的な答え

$\sqrt{\frac{201}{100}} = \frac{\sqrt{201}}{10} \approx 1.4177$