与えられた数列の和を求めます。数列は $1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + 3 \cdot 4 \cdot 5 + \dots + n(n+1)(n+2)$ で表されます。

1. 問題の内容

与えられた数列の和を求めます。数列は $1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + 3 \cdot 4 \cdot 5 + \dots + n(n+1)(n+2)$ で表されます。

2. 解き方の手順

この和を求めるために、$\sum_{k=1}^{n} k(k+1)(k+2)$ を計算します。

まず、$k(k+1)(k+2)$ を展開します。

$k(k+1)(k+2) = k(k^2 + 3k + 2) = k^3 + 3k^2 + 2k$

したがって、

$\sum_{k=1}^{n} k(k+1)(k+2) = \sum_{k=1}^{n} (k^3 + 3k^2 + 2k) = \sum_{k=1}^{n} k^3 + 3\sum_{k=1}^{n} k^2 + 2\sum_{k=1}^{n} k$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$

これらを代入すると、

$\sum_{k=1}^{n} k^3 + 3\sum_{k=1}^{n} k^2 + 2\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n^2(n+1)^2}{4} + 3\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 2\frac{n(n+1)}{2}$

$= \frac{n^2(n+1)^2}{4} + \frac{n(n+1)(2n+1)}{2} + n(n+1)$

$= \frac{n(n+1)}{4} [n(n+1) + 2(2n+1) + 4]$

$= \frac{n(n+1)}{4} [n^2 + n + 4n + 2 + 4]$

$= \frac{n(n+1)}{4} [n^2 + 5n + 6]$

$= \frac{n(n+1)(n^2 + 5n + 6)}{4}$

$= \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$