この問題は、一の位が5である2桁の自然数の2乗を簡単に計算する方法（あおいさんの方法）についてです。 (1) 35 x 35 の計算における空欄を埋めます。 (2) あおいさんの計算方法が正しいことを証明します。

1. 問題の内容

この問題は、一の位が5である2桁の自然数の2乗を簡単に計算する方法（あおいさんの方法）についてです。

(1) 35 x 35 の計算における空欄を埋めます。

(2) あおいさんの計算方法が正しいことを証明します。

2. 解き方の手順

(1)

あおいさんの方法に従い、35 x 35 を計算します。

まず、下2桁に25を書きます。

次に、百以上の位には、「もとの数の十の位の数」（この場合は3）と「その数に1をたした数」（この場合は3+1=4）の積を書きます。つまり、3 x (3 + 1) = 3 x 4 = 12 を書きます。

したがって、35 x 35 = 1225 となります。

(2)

一の位が5である2桁の自然数を $10x + 5$ と表します。この数の2乗は、

$(10x + 5)^2 = (10x + 5)(10x + 5) = 100x^2 + 50x + 50x + 25 = 100x^2 + 100x + 25 = 100x(x+1) + 25$

となります。

$100x(x+1)$ は $x(x+1)$ を100倍したものですから、$x(x+1)$ が百の位以上の数になることを意味します。

そして、25が下2桁となります。

これはまさに「あおいさんの考え」の方法と同じです。

したがって、あおいさんの計算方法は正しいことが証明されました。

3. 最終的な答え

(1) 空欄に当てはまる数：

上段の空欄：12

下段の空欄：3、3

(2) 証明：

$(10x + 5)^2 = 100x(x+1) + 25$ となり、あおいさんの考え方と同じ計算結果になるため、正しい。