2つの自然数 $m$, $n$ がある。$m$ を11で割ると商が $a$ で余りが9、$n$ を11で割ると商が $b$ で余りが8となる。 (1) $m$ を $a$ の式で表しなさい。 (2) 2数の積 $mn$ を11で割ったときの余りを求めなさい。

1. 問題の内容

2つの自然数 $m$, $n$ がある。$m$ を11で割ると商が $a$ で余りが9、$n$ を11で割ると商が $b$ で余りが8となる。

(1) $m$ を $a$ の式で表しなさい。

(2) 2数の積 $mn$ を11で割ったときの余りを求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) $m$ を $a$ で表す。

問題文より、$m$ を11で割ると商が $a$ で余りが9なので、

$m = 11a + 9$

(2) $mn$ を11で割った余りを求める。

問題文より、$n$ を11で割ると商が $b$ で余りが8なので、

$n = 11b + 8$

したがって、$mn = (11a + 9)(11b + 8)$

$mn = 121ab + 88a + 99b + 72$

$mn = 11(11ab + 8a + 9b + 6) + 6$

3. 最終的な答え

(1) $m = 11a + 9$

(2) 6