$(x^2 - 2x + 3)^6$ の展開式における $x^4$ の係数を求める。

1. 問題の内容

$(x^2 - 2x + 3)^6$ の展開式における $x^4$ の係数を求める。

2. 解き方の手順

多項定理を用いる。 $(x^2 - 2x + 3)^6$ を展開した項は、

$\frac{6!}{p!q!r!} (x^2)^p (-2x)^q (3)^r$ (ただし、$p+q+r = 6$ であり、$p,q,r$ は非負整数)

という形になる。 $x^4$ の係数を求めたいので、

$2p + q = 4$

となる $p, q, r$ の組み合わせを考える。

$p + q + r = 6$ であることを合わせて考えると、

* $p=2, q=0, r=4$ のとき： $\frac{6!}{2!0!4!} (x^2)^2 (-2x)^0 (3)^4 = \frac{6 \cdot 5}{2} \cdot 1 \cdot 81 x^4 = 15 \cdot 81 x^4 = 1215 x^4$

* $p=1, q=2, r=3$ のとき： $\frac{6!}{1!2!3!} (x^2)^1 (-2x)^2 (3)^3 = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{2} \cdot x^2 \cdot 4x^2 \cdot 27 = 60 \cdot 4 \cdot 27 x^4 = 6480 x^4$

* $p=0, q=4, r=2$ のとき： $\frac{6!}{0!4!2!} (x^2)^0 (-2x)^4 (3)^2 = \frac{6 \cdot 5}{2} \cdot 16 x^4 \cdot 9 = 15 \cdot 16 \cdot 9 x^4 = 2160 x^4$

したがって、$x^4$ の係数は $1215 + 6480 + 2160 = 9855$ である。

3. 最終的な答え

9855