複素数 $Z_1 = \frac{\sqrt{3}+i}{2}$ と $Z_2 = -1 + \sqrt{3}i$ が与えられています。これらの複素数を極形式で表し、$Z_1Z_2$ を計算し、その結果を $r(\cos \theta + i \sin \theta)$ の形で答える問題です。

1. 問題の内容

複素数 $Z_1 = \frac{\sqrt{3}+i}{2}$ と $Z_2 = -1 + \sqrt{3}i$ が与えられています。これらの複素数を極形式で表し、$Z_1Z_2$ を計算し、その結果を $r(\cos \theta + i \sin \theta)$ の形で答える問題です。

2. 解き方の手順

ステップ1: $Z_1$ を極形式で表します。

$Z_1 = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$ の絶対値 $|Z_1|$ は、

$|Z_1| = \sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{4}{4}} = 1$

偏角 $\theta_1$ は、$\cos \theta_1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$ かつ $\sin \theta_1 = \frac{1}{2}$ を満たすので、$\theta_1 = 30^\circ$ または $\theta_1 = \frac{\pi}{6}$ ラジアンです。

よって、$Z_1 = 1(\cos 30^\circ + i \sin 30^\circ)$ と表されます。

ステップ2: $Z_2$ を極形式で表します。

$Z_2 = -1 + \sqrt{3}i$ の絶対値 $|Z_2|$ は、

$|Z_2| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$

偏角 $\theta_2$ は、$\cos \theta_2 = \frac{-1}{2}$ かつ $\sin \theta_2 = \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たすので、$\theta_2 = 120^\circ$ または $\theta_2 = \frac{2\pi}{3}$ ラジアンです。

よって、$Z_2 = 2(\cos 120^\circ + i \sin 120^\circ)$ と表されます。

ステップ3: $Z_1Z_2$ を計算します。

$Z_1Z_2 = 1(\cos 30^\circ + i \sin 30^\circ) \cdot 2(\cos 120^\circ + i \sin 120^\circ)$

$= 1 \cdot 2 (\cos (30^\circ + 120^\circ) + i \sin (30^\circ + 120^\circ))$

$= 2(\cos 150^\circ + i \sin 150^\circ)$

3. 最終的な答え

ア: 2

イ: 150

ウ: 150

したがって、$Z_1Z_2 = 2(\cos 150^\circ + i \sin 150^\circ)$