複素数 $z_1 = \frac{-\sqrt{2} + \sqrt{2}i}{2}$ と $z_2 = 1+i$ が与えられている。これらの複素数を極形式に変形し、$z_1 z_2$ を計算して、その結果を極形式で表す問題です。

1. 問題の内容

複素数 $z_1 = \frac{-\sqrt{2} + \sqrt{2}i}{2}$ と $z_2 = 1+i$ が与えられている。これらの複素数を極形式に変形し、$z_1 z_2$ を計算して、その結果を極形式で表す問題です。

2. 解き方の手順

まず、$z_1$ を極形式に変形します。

$z_1 = \frac{-\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i$

$r_1 = |z_1| = \sqrt{(\frac{-\sqrt{2}}{2})^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = \sqrt{\frac{2}{4} + \frac{2}{4}} = \sqrt{1} = 1$

$\theta_1$ を求めます。$\cos(\theta_1) = \frac{-\sqrt{2}}{2}$ かつ $\sin(\theta_1) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ となる $\theta_1$ は、$\theta_1 = \frac{3\pi}{4}$ (または $135^\circ$) です。

したがって、$z_1 = 1(\cos(135^\circ) + i \sin(135^\circ))$.

次に、$z_2$ を極形式に変形します。

$z_2 = 1 + i$

$r_2 = |z_2| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

$\theta_2$ を求めます。$\cos(\theta_2) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ かつ $\sin(\theta_2) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ となる $\theta_2$ は、$\theta_2 = \frac{\pi}{4}$ (または $45^\circ$) です。

したがって、$z_2 = \sqrt{2}(\cos(45^\circ) + i \sin(45^\circ))$.

$z_1 z_2$ を計算します。

$z_1 z_2 = r_1 r_2 (\cos(\theta_1 + \theta_2) + i \sin(\theta_1 + \theta_2)) = 1 \cdot \sqrt{2} (\cos(135^\circ + 45^\circ) + i \sin(135^\circ + 45^\circ))$

$z_1 z_2 = \sqrt{2} (\cos(180^\circ) + i \sin(180^\circ))$

3. 最終的な答え

$z_1 z_2 = \sqrt{2} (\cos(180^\circ) + i \sin(180^\circ))$

ア = 2

イ = 180

ウ = 180