三角形ABCにおいて、以下の等式が成り立つとき、どのような形の三角形か答えよ。 (1) $a \sin A = b \sin B$ (2) $a \cos A + b \cos B = c \cos C$

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、以下の等式が成り立つとき、どのような形の三角形か答えよ。

(1) $a \sin A = b \sin B$

(2) $a \cos A + b \cos B = c \cos C$

2. 解き方の手順

(1) 正弦定理より、$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = 2R$ (Rは外接円の半径)である。

したがって、$\sin A = \frac{a}{2R}$、$\sin B = \frac{b}{2R}$となる。

与えられた式 $a \sin A = b \sin B$ に代入すると、

$a \cdot \frac{a}{2R} = b \cdot \frac{b}{2R}$

$a^2 = b^2$

$a = b$ (a, b > 0)

したがって、$a=b$ の二等辺三角形である。

(2) 余弦定理より、$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$, $\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$, $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$である。

与えられた式 $a \cos A + b \cos B = c \cos C$ に代入すると、

$a \cdot \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} + b \cdot \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = c \cdot \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

両辺に $2abc$ をかけると、

$a^2(b^2 + c^2 - a^2) + b^2(a^2 + c^2 - b^2) = c^2(a^2 + b^2 - c^2)$

$a^2b^2 + a^2c^2 - a^4 + a^2b^2 + b^2c^2 - b^4 = a^2c^2 + b^2c^2 - c^4$

$2a^2b^2 - a^4 - b^4 = -c^4$

$c^4 = a^4 + b^4 - 2a^2b^2$

$c^4 = (a^2 - b^2)^2$

$c^2 = |a^2 - b^2|$

$c^2 = a^2 - b^2$ または $c^2 = b^2 - a^2$

$a^2 = b^2 + c^2$ または $b^2 = a^2 + c^2$

これは、$A = 90^{\circ}$ または $B = 90^{\circ}$ の直角三角形である。

3. 最終的な答え

(1) $a=b$ の二等辺三角形

(2) $A = 90^{\circ}$ または $B = 90^{\circ}$ の直角三角形